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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

数学

pythonでLebedev quadratureを使う(更新)

以前にquadpyについて紹介した。 koideforest.hatenadiary.com しかし、記事が古くなっていて、仕様がいろいろ変更されたようなので、更新する。 詳しい内容は公式のGitHubページを参照。 GitHub - nschloe/quadpy: Numerical integration (quadrature, cuba…

ブール領域を用いたエンタングルメントの説明。

ブール領域 の直積の部分集合として、以下のものを考える。 これは、次の様に書くことが出来ない。 これを、ここでは「分離不可能」と言うことにする。一方で、次のようなものは分離可能である。 よって、部分集合を取れば何でもよい訳ではなく、 は特殊な状…

上極限集合と下極限集合。

個人的には、数列を作った方が分かり易い。 よって、数列は単調減少数列である。 また、より、 よって、数列は単調増加数列である。 また、より、 したがって、が自然に言える。 実際に計算するときにも、数列を考えた方が扱い易いと思う。例: 参考サイト:…

グラフ理論の個人用メモ(その2)

bipartite grapheのcycleは全て偶数長。 edge数の制限 vertex数のsimple graphにおいて、connected graphが個含まれているとき、edge数は次の不等式を満たす。 これは、cycleが無いときに最もedge数が少なく、complete graphのときに最もedge数が多いことが…

グラフ理論の個人用メモ。

graph vertexとedgeの集合。 vertex 点。 edge 二つのvertexの非順序対。辺。 adjacent edgeで繋がれている二つのvertex間の関係。もしくは、veterxを共有している二つのedgeの関係。隣接。 incident edgeにvertexが含まれているときの「edgeとvertex」の関…

ネイピア数について。

が微分によって不変である性質を使うと、 左右微分を気にすれば、次のことが言える。 同様により、 でははどうなるかというと、 また、マクローリン展開を利用すると、

周期結晶におけるフーリエ変換(フーリエ級数展開)。

そもそもの「フーリエ変換」と「フーリエ級数」の違いについては以下のサイトが詳しい。 フーリエ変換とDFTの関係 離散化と周期化ざっとまとめると、 フーリエ変換:x(連続、非周期)→ k(連続、非周期) フーリエ級数:x(連続、周期)→ k(離散、非周期)…

有効質量と自己エネルギーについて。

前回、繰り込み因子と自己エネルギーの関係についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 自己エネルギーの虚部がゼロ()であるところでは、スペクトル関数がデルタ関数で表せるため、(準)粒子のエネルギーが上手く定義出来ている。 その(準)粒子エ…

繰り込み因子に自己エネルギーの微分が入る件について。

ずっと自分の中でよく分かってなかった。 Mahanをパラパラ読んでたらちゃんと書いてあった。係数には流儀があると思うが、自由状態において係数がとなるように(振動数での逆Fourier的な積分が1になるように)スペクトル関数を定義すると、 具体例として自由…

運動量演算子のエルミート性。

いつも忘れる。参考サイト。 位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明 - 三浦と窮理とブログ結局、運動量演算子が微分演算を含み、期待値(つまり積分)の中で部分積分を使うと符号と作用する関数を反転できる、ということによる。 ただ…

単一三角格子の固有値問題。

単一三角格子において、各サイトへのホッピングをで表すと、ハミルトニアンは と書ける。 このハミルトニアンの固有値と固有ベクトルを求める。三次方程式の解き方を忘れたので、以下のサイトを参照。 三次方程式の解き方と例題3問 | 高校数学の美しい物語 …

等方的な関数のフーリエ変換。

1次元 2次元 3次元

Gaussianの半値幅。

規格化されたGaussianは次の形で与えられる。 規格化されている(積分値が1になっている)ことは、次のようにして確かめられる。 を用いた表記は、統計学的な処理を行う際に便利である(と想像される)が、直感的にどれくらいの幅を持つのかが分かりにくい。…

Fourier変換の符号や係数の気持ち。

自分で毎回忘れるので、まとめておく。Fourier変換の符号や係数は、変換と逆変換とで対になっていれば良いため(語弊があるが)不定性があり、分野によって異なる(気がしている)。一応、自分ルールとして、 位置および時間を基準とし、波数もしくは(角)…

実空間多重散乱からKKR法への接続。

あるセル内の散乱によるセルT行列を と置くと、全てのサイトによる散乱Green関数 は次のように書ける。 ここで、 は自由散乱状態におけるGreen関数である。また、セルに属するサイトをという風に表した。セルT行列 はサイトT行列 を用いて次のように書ける。…

T行列のサイトT行列展開とセルT行列展開。

T行列は元々サイトポテンシャルの展開で以下の様に定義されている。 しかし、「違うサイトへの伝搬」と「同じサイト内での多重散乱」が混在しており、実際の計算には非常に不便である。 そこで、同じサイトのポテンシャル散乱を繰り込んだサイトT行列を定義…

python で Lebedev quadrature を使う。

注意:情報を更新しました。 koideforest.hatenadiary.com注意:以下の内容は古いので、テストコードはそのままでは通りません。 以前にLebedev求積法について紹介した。 koideforest.hatenadiary.com最近ではpythonでもLebedev求積法が使えるmoduleがあるら…

定数ポテンシャルを与える球対称電子密度について。

Poisson方程式の解は、 と書ける(原子単位系)。多重極子展開および角運動量展開を利用すると、 ここで、元々 の時、 が半径まで値を持つ場合において、その内側で が定数になる の形を求めることを試みる。 定数であるから、微分するとポテンシャルはゼロ…

化学ポテンシャルの温度依存性。

前回、Sommerfeld展開についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、(状態密度)として適用し、化学ポテンシャルの温度依存性について調べる。 ここで、 とすると、Tayler展開を用いて次のように書ける。 ここで、自由電子の状態密度が であるた…

Sommerfeld展開。

Sommerfeld展開は、Fermi分布関数 が掛かった関数の積分値に関する展開式で、以下のように表される。 室温程度であれば、(が十分滑らかな関数である限り) 第二項までの打ち切りが良い近似として成り立つことが知られている。 この展開を導出してみることにす…

CoulombポテンシャルのFourier変換(収束因子経由)

以前に、CoulombポテンシャルのFourier変換を、Poisson方程式を経由することで求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は収束因子を導入することによって求める。 と定義すると、 この積分を評価する。と定義し、と置くと、 したがって、

電子ガス模型における電子間相互作用の一次摂動。

電子ガス模型における電子間相互作用の効果を、一次摂動で求める。 ここで、変数変換およびをすると、対称性が良くなる。 半径の球を考える。のとき、の動く範囲はこの球に一致する。 絶対値の中身を具体的に考えると、 これをもとに、で固定したときに許さ…

軸対称な物体の体積。

CTスキャンのように、断面図をからまで足し合わせていくイメージである。 軸対称なため、断面図は半径の円である。球体の場合、 であるから、 となり、よく知っている球の体積が得られた。

組み合わせの一般化。

個の要素(例えば番号の振られたボール)のうち個を取り出して、それを個のグループ(例えば番号の振られた筒)に分けたときに、各グループ内の要素の個数がとなる組み合わせの数は、 ただし 証明 個の要素(例えば番号の振られたボール)から個を取り出して…

はじめてのベイズ法。

IPythonデータサイエンスクックブックに載っていた内容の紹介。以下、言葉と記号を整理しておく。 : モデルを構成するパラメータ。ただし、確率変数として扱っていく。 : 「事前確率分布」と呼ばれる、を決定するのに何も情報を持っていない時に仮定するの確…

調和振動における滞在時間からの分布関数の導出。

古典的な調和振動は以下のように表される。 周期を用いて、この振動の(位置)期待値を取ると、 つまり、原点に多く存在している「ように」見える。次に、標準偏差を取ると、 となり、「少なくとも」常に原点にいるわけではないことがわかる。一方、原点から…

無限級数の部分和による近似。

無限級数を部分和に分解したときに、相対誤差がどのようになるかを考察してみた。 無限級数を以下のように定義する。 この無限級数を次の様に部分和で近似してみる。 この近似の相対誤差は、 更に、で元の無限級数に一致させるために、重み付けして和を取る…

Campbell-Baker-Hausdorffの公式と生成消滅演算子の時間発展。

いつも公式を忘れるので、ここでまとめる。 Campbell-Baker-Hausdorffの公式を帰納法を用いて証明する。 帰納法を使えば、 したがって、一般の次数における微分係数が求まったため、Maclaurin展開より、 Campbell-Baker-Hausdorffの公式を(自由)電子系に応…

二項分布まとめ

二項分布の平均と分散がわかりにくかったのでまとめ。 参考:二項分布の平均と分散の二通りの証明 | 高校数学の美しい物語このとき、二項分布に従う確率変数と、となる確率 は次のように定義される。 が規格化されていることを確認。 二項分布に従う確率変数…

極値において、一階微分がゼロでも二階微分はゼロじゃない点について

例として、三次方程式 を考える。では極値を取るとすると、 極値が存在するかどうかは、二次方程式の判別式を解く必要があるが、極値の存在を仮定すると、の関係が求まる。この条件のもと、極値における二階微分を求めると、 となり、一般にゼロでない。この…