nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

T行列のサイトT行列展開とセルT行列展開。

T行列は元々サイトポテンシャル vの展開で以下の様に定義されている。

\displaystyle
T = \sum_\alpha v_\alpha + \sum_{\alpha, \beta} v_\alpha g_0 v_\beta + \sum_{\alpha, \beta, \gamma} v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_\gamma + \cdots

しかし、「違うサイトへの伝搬」と「同じサイト内での多重散乱」が混在しており、実際の計算には非常に不便である。
そこで、同じサイトのポテンシャル散乱を繰り込んだサイトT行列 tを定義すると、サイト内の多重散乱とサイト間の伝搬を分けることができる。これがいわゆる多重散乱展開である。

\displaystyle
t_\alpha = \sum_\alpha v_\alpha + \sum_{\alpha} v_\alpha g_0 v_\alpha + \sum_\alpha v_\alpha g_0 v_\alpha g_0 v_\alpha \cdots
\\
\displaystyle
T  = \sum_\alpha t_\alpha + \sum_{\alpha} \sum_{ \beta (\neq \alpha ) } t_\alpha g_0 t_\beta + \sum_{\alpha} \sum_{ \beta (\neq \alpha ) } \sum_{ \gamma (\neq \beta ) } t_\alpha g_0 t_\beta g_0 t_\gamma + \cdots
サイトT行列間の伝搬の際には、かならず異なるサイトへ行くため、散乱のイメージが付きやすい。
注意として、あるサイトから他サイトに伝搬した後、もう一度同じサイトに戻って来ることは可能である。

この考えを更に進めて、サイトを各集合に分類し、それをセルと呼ぶことにすると、セル内の多重散乱とセル間の散乱に分けることができる。セル内の多重散乱を繰り込んだものをセルT行列 \mathcal Tと定義すると、

\displaystyle
\mathcal T_i = \sum_{a_i} t_{a_i} + \sum_{a_i} \sum_{ b_i (\neq a_i ) } t_{a_i} g_0 t_{b_i} + \sum_{a_i} \sum_{ b_i (\neq a_i) } \sum_{ c_i (\neq b_i) } t_{a_i} g_0 t_{b_i} g_0 t_{c_i} + \cdots 
\\
\displaystyle
T = \sum_i \mathcal T_i + \sum_i \sum_{j (\neq i)} \mathcal T_i g_0 \mathcal T_j + \sum_{i} \sum_{j (\neq i) } \sum_{ k (\neq j) } \mathcal T_i g_0 \mathcal T_j g_0 \mathcal T_k + \cdots
ここで、セル iに含まれてるサイト a_iは、和を取ると全サイトの和に等しくなるように定義している。

\displaystyle
\sum_\alpha = \sum_i \sum_{a_i}
注意として、セル間の散乱といえども、伝搬はあくまでサイト間である。「サイト同士が必ず異なるセルに属するような散乱」を「セル間の散乱」とここでは呼んでいる。

まとめると、

\displaystyle
T = \sum_\alpha v_\alpha + \sum_{\alpha, \beta} v_\alpha g_0 v_\beta + \sum_{\alpha, \beta, \gamma} v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_\gamma + \cdots
\\
\displaystyle
\qquad
  = \sum_\alpha t_\alpha + \sum_{\alpha} \sum_{ \beta (\neq \alpha ) } t_\alpha g_0 t_\beta + \sum_{\alpha} \sum_{ \beta (\neq \alpha ) } \sum_{ \gamma (\neq \beta ) } t_\alpha g_0 t_\beta g_0 t_\gamma + \cdots
\\
\displaystyle
\qquad
  = \sum_i \mathcal T_i + \sum_i \sum_{j (\neq i)} \mathcal T_i g_0 \mathcal T_j + \sum_{i} \sum_{j (\neq i) } \sum_{ k (\neq j) } \mathcal T_i g_0 \mathcal T_j g_0 \mathcal T_k + \cdots

以下、もう少し細かく説明する。

  • サイトT行列展開

サイトの和から、あるサイト aだけを抜き出して t_aを作ることを考える。

\displaystyle
\sum_\alpha v_\alpha = v_a + \sum_{\alpha (\neq a)} v_\alpha
\\
\displaystyle
\sum_{\alpha, \beta} v_\alpha g_0 v_\beta
  = v_a g_0 v_a + \sum_{\alpha (\neq a)} ( v_a g_0 v_\alpha + v_\alpha g_0 v_a ) + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} v_\alpha g_0 v_\beta
\\
\displaystyle
\sum_{\alpha, \beta, \gamma} v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_\gamma
  = v_a g_0 v_a g_0 v_a + \sum_{\alpha (\neq a)} ( v_a g_0 v_a g_0 v_\alpha + v_a g_0 v_\alpha g_0 v_a + v_\alpha g_0 v_a g_0 v_a )
\\
\displaystyle
\qquad
  + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} ( v_a g_0 v_\alpha g_0 v_\beta + v_\beta g_0 v_a g_0 v_\alpha + v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_a )
\\
\displaystyle
\qquad
  + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} \sum_{\gamma (\neq a)} v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_\gamma

したがって、三次までで整理すると、

\displaystyle
T \approx \sum_\alpha v_\alpha + \sum_{\alpha, \beta} v_\alpha g_0 v_\beta + \sum_{\alpha, \beta, \gamma} v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_\gamma
\\
\displaystyle
\qquad
  = (v_a + v_a g_0 v_a + v_a g_0 v_a g_0 v_a )
\\
\displaystyle
\qquad \qquad
  + \sum_{\alpha (\neq a)} ( (v_a + v_a g_0 v_a ) g_0 v_\alpha + v_\alpha g_0 (v_a + v_a g_0 v_a ) ) 
  + \sum_{\alpha (\neq a)} v_a g_0 v_\alpha g_0 v_a
\\
\displaystyle
\qquad \qquad
  + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} ( v_a g_0 v_\alpha g_0 v_\beta + v_\beta g_0 v_a g_0 v_\alpha + v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_a )
\\
\displaystyle
\qquad \qquad
  + \sum_{\alpha (\neq a)} v_\alpha
  + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} v_\alpha g_0 v_\beta
  + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} \sum_{\gamma (\neq a)} v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_\gamma
\\
\displaystyle
\qquad
  \rightarrow t_a + \sum_{\alpha (\neq a)} ( t_a g_0 v_\alpha + v_\alpha g_0 t_a ) + \sum_{\alpha (\neq a)} t_a g_0 v_\alpha g_0 t_a  
\\
\displaystyle
\qquad \qquad
  + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} ( t_a g_0 v_\alpha g_0 v_\beta + v_\beta g_0 t_a g_0 v_\alpha + v_\alpha g_0 v_\beta g_0 t_a )
\\
\displaystyle
\qquad \qquad
  + \sum_{\alpha (\neq a)} v_\alpha
  + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} v_\alpha g_0 v_\beta
  + \sum_{\alpha (\neq a)} \sum_{\beta (\neq a)} \sum_{\gamma (\neq a)} v_\alpha g_0 v_\beta g_0 v_\gamma
級数の中で v_aがやがて t_aになっていくことが何となく感じられたと思う。
ポイントは、 aから移るときには必ず異なるサイトへ行くようになっていることである。
他のサイトに関しても同様に tを作るように抜き出していくと、最終的にサイトT行列展開が得られる。

  • セル行列展開

サイトT行列展開の時と同様に、サイトの和からあるセル iに含まれるサイト集合 \{a_i\}を抜き出して \mathcal T_iを作ることを考える。

\displaystyle
\sum_{\alpha} t_{\alpha} = \sum_{a_i} t_{a_i} + \sum_{ j (\neq i )} \sum_{a_j} t_{a_j}
\\
\displaystyle
\sum_{\alpha} \sum_{\beta (\neq \alpha) } t_\alpha g_0 t_\beta
  = \sum_{a_i} \sum_{ b_i (\neq a_i ) } t_{a_i} g_0 t_{b_i}
\\
\displaystyle
\qquad
    + \sum_{a_i} \left( \sum_{ j (\neq i) }\sum_{a_j} \right) ( t_{a_i} g_0 t_{a_j} + t_{a_j} g_0 t_{a_i} )
\\
\displaystyle
\qquad
    + \left( \sum_{j (\neq i)} \sum_{a_j} \right) \left( \sum_{ k (\neq i) } \sum_{b_k (\neq a_j)} \right) t_{a_j} g_0 t_{b_k}
\\
\displaystyle
\sum_{\alpha} \sum_{\beta (\neq \alpha)} \sum_{\gamma (\neq \beta)} t_\alpha g_0 t_\beta g_0 t_\gamma
  = \sum_{a_i} \sum_{b_i (\neq a_i)} \sum_{c_i (\neq b_i)} t_{a_i} g_0 t_{b_i} g_0 t_{c_i}
\\
\displaystyle
\qquad
    + \sum_{a_i} \sum_{b_i (\neq a_i )} \left( \sum_{ j (\neq i)} \sum_{a_j} \right) ( t_{a_i} g_0 t_{b_i} g_0 t_{a_j} + t_{b_i} g_0 t_{a_j} g_0 t_{a_i} + t_{a_j} g_0 t_{a_i} g_0 t_{b_i} )
\\
\displaystyle
\qquad
  + \sum_{a_i} \left( \sum_{j (\neq i)} \sum_{a_j} \right) \left( \sum_{k (\neq i)} \sum_{b_k (\neq a_j)} \right) ( t_{a_i} g_0 t_{a_j} g_0 t_{b_k} + t_{b_k} g_0 t_{a_i} g_0 t_{a_j} + t_{a_j} g_0 t_{b_k} g_0 t_{a_i} )
\\
\displaystyle
\qquad
  + \left( \sum_{ j (\neq i) } \sum_{a_j} \right) \left( \sum_{ k (\neq i) } \sum_{ b_k (\neq a_j) } \right) \left( \sum_{ m (\neq i) } \sum_{c_m (\neq b_k)} \right) t_{a_j} g_0 t_{b_k} g_0 t_{c_m}
異なるセルに属していれば、サイトが被ることは無い。

したがって、三次までで整理すると、

\displaystyle
T \approx \sum_\alpha t_\alpha + \sum_{\alpha} \sum_{\beta (\neq \alpha)} t_\alpha g_0 t_\beta + \sum_{\alpha} \sum_{\beta (\neq \alpha)} \sum_{\gamma (\neq \beta)} t_\alpha g_0 t_\beta g_0 t_\gamma
\\
\displaystyle
\qquad
  \rightarrow \mathcal T_i + \left( \sum_{ j (\neq i) } \sum_{a_j} \right) ( \mathcal T_i g_0 t_{a_j} + t_{a_j} g_0 \mathcal T_i )
    + \left( \sum_{ j (\neq i ) } \sum_{a_j} \right) \mathcal T_i g_0 t_{a_j} g_0 \mathcal T_i

\displaystyle
\qquad \qquad
  + \left( \sum_{ j (\neq i ) } \sum_{ a_j } \right) \left( \sum_{k (\neq i)} \sum_{ b_k ( \neq a_j ) } \right) ( \mathcal T_i g_0 t_{a_j} g_0 t_{b_k} + t_{b_k} g_0 \mathcal T_i g_0 t_{a_j} + t_{a_j} g_0 t_{b_k} g_0 \mathcal T_i )
\\
\displaystyle
\qquad \qquad
  + \sum_{ j (\neq i )} \sum_{a_j} t_{a_j}
  + \left( \sum_{j (\neq i)} \sum_{a_j} \right) \left( \sum_{ k (\neq i) } \sum_{b_k (\neq a_j)} \right) t_{a_j} g_0 t_{b_k}
\\
\displaystyle
\qquad \qquad
  + \left( \sum_{ j (\neq i) } \sum_{a_j} \right) \left( \sum_{ k (\neq i) } \sum_{ b_k (\neq a_j) } \right) \left( \sum_{ m (\neq i) } \sum_{c_m (\neq b_k)} \right) t_{a_j} g_0 t_{b_k} g_0 t_{c_m}
級数の中で \sum_{a_i} t_{a_i}がやがて \mathcal T_iになっていくことが何となく感じられたと思う。
セル iのみを抜き出したため、 j, kの和は j=kとなる場合があることに注意。そのために同じサイトへの伝搬が無い様に和が複雑になっている。
他のセルに関しても同様に \mathcal Tを作るように抜き出していくと、最終的にセルT行列展開が得られる。