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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

ネイピア数について。

数学

e^xが微分によって不変である性質を使うと、
\displaystyle f(x) = a^x \\ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x + h) - f(x)}{h} = f( x ) \\ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ a^h - 1 }{h} = 1 \\ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} ( a^h - 1 ) = \lim_{h \rightarrow 0} h \\ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} a^h = \lim_{h \rightarrow 0} ( 1 + h ) \\ \displaystyle a = \lim_{h \rightarrow 0} ( 1 + h )^{1/h} \equiv e
左右微分を気にすれば、次のことが言える。
\displaystyle e = \lim_{h \rightarrow 0+} ( 1 + h )^{1/h} = \lim_{h \rightarrow 0-} ( 1 + h )^{1/h} \\ \displaystyle \qquad = \lim_{H \rightarrow \infty} ( 1 + 1/H )^{H} = \lim_{H \rightarrow \infty} ( 1 - 1/H )^{-H} = \lim_{H \rightarrow \infty} ( 1 + 1/(-H) )^{-H}

同様に (e^{-x})' = -e^{-x}より、
\displaystyle f(x) = a^x \\ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x + h) - f(x)}{h} = - f( x ) \\ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ a^h - 1 }{h} = - 1 \\ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} ( a^h - 1 ) = \lim_{h \rightarrow 0} ( - h ) \\ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} a^h = \lim_{h \rightarrow 0} ( 1 - h ) \\ \displaystyle a = \lim_{h \rightarrow 0} ( 1 - h )^{1/h} = \lim_{h \rightarrow 0} ( 1 + (-h) )^{1/h} = \lim_{h' \rightarrow 0} ( 1 + h' )^{-1/h'} \equiv e^{-1}

では e^xはどうなるかというと、
\displaystyle e^x = \lim_{h \rightarrow 0} ( 1 + h )^{x/h} = \lim_{H \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{|x|}{H} \right)^{{\rm sgn}(x) H} = \lim_{H \rightarrow \infty} \left( 1 + {\rm sgn}( x ) \frac{x}{H} \right)^{{\rm sgn}(x) H} \\ \displaystyle \qquad = \lim_{H \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{x}{{\rm sgn}( x ) H} \right)^{{\rm sgn}(x) H} = \lim_{H' \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{x}{H'} \right)^{H'} \quad ( H = |x|/h ) \\ \displaystyle e^{-x} = \lim_{h \rightarrow 0} ( 1 - h )^{x/h} = \lim_{H \rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{x}{H} \right)^{H}

また、マクローリン展開を利用すると、
\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{ x^n }{n!} \\ \displaystyle e^{-x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-x)^n }{n!}