周期結晶におけるフーリエ変換（フーリエ級数展開）。

そもそもの「フーリエ変換」と「フーリエ級数」の違いについては以下のサイトが詳しい。
フーリエ変換とDFTの関係
 離散化と周期化

ざっとまとめると、
フーリエ変換：x（連続、非周期）→ k（連続、非周期）
フーリエ級数：x（連続、周期）→ k（離散、非周期）
z変換：x（離散、非周期）→ k（連続、周期）
離散フーリエ変換：（離散、非周期）→ k（離散、非周期）

したがって、周期結晶では周期性があるので、フーリエ級数に対応する。
しかし、固体物理で言う周期性には二段階あるため、注意が必要である。簡単のため一次元を考えると、

周期 $a$ : unit cellの周期性
周期 $L$ : $N$ 個のunit cellの周期性

$N$ というのは、フーリエ級数展開するのときのパラメータの様なものだと考えるのが簡単である。
もう少し説明すると、「 $a$ がunit cellの周期」であることを一旦忘れて、「 $a$ が領域 $L$ のデータ点の間隔」と思えば、 $L$ （ $N$ ）が大きければ大きいほど波数の間隔は細かくなり、長波長の波を表現することができる。
$N \rightarrow \infty$ とすると、「フーリエ変換」に戻り、周期性の恩恵は得られない。

わざわざ二段階にする必要は無いように感じられるかもしれない。しかし、周期 $a$ だけを採用すると、周期 $a$ で繰り返している現象しか記述できない。例えば、波動関数がunit cellをまたがって位相情報を共有している場合、明らかに波動関数の周期は $a$ ではない。その周期が収まる「入れ物」が必要であり、収まるように拡大した周期が $L$ なのである。

この条件において、フーリエ級数展開を考える。
そのために、ややこしいが、「周期 $L$ の周期性が有限回（ $2M+1$ 回）」であるとし、後で $M\rightarrow \infty$ の極限を取る方法を採用する。

任意の周期関数 $f$ は次のように書ける。
$\displaystyle f( r ) = \sum_{m=-M}^M f_L( r - m L )$
ただし、 $f_L( r )$ は $0 \le r < L$ の範囲で値を持つとする。

これを「フーリエ変換」する。
係数の付け方は以前の内容を踏襲。
koideforest.hatenadiary.com
$\displaystyle f( k ) = \int dr \, f( r ) e^{- i k r } = \sum_{m=-M}^M \int dr \, f_L( r - m L ) e^{- i k r } \\ \displaystyle \qquad = \sum_{m=-M}^M e^{- i k m L } \int^L_0 dr' \, f_L( r' ) e^{- i k r' } \equiv f_L( k ) \sum_{m=-M}^M e^{- i k m L }$

$\sum_{m=-M}^M e^{- i k m L }$ はディリクレ核と呼ばれ、 $M \rightarrow \infty$ でデルタ関数になる。
（参考：離散化と周期化）
これがこの記事の肝である（~~肝の部分を引用で済ますのもどうかと思うが~~）。
記事によれば、
$\displaystyle \lim_{M\rightarrow \infty} \sum_{m=-M}^M e^{- i k m L } = \frac{2\pi}{L} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta\left( k - \frac{2\pi}{L} n\right) \\ \qquad \displaystyle \equiv \frac{2\pi}{L} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta\left( k - k_n \right)$

したがって、
$\displaystyle f( r ) = \sum_{m=-\infty}^\infty f_L( r - m L ) \\ \displaystyle f( k ) = \frac{2\pi}{L} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta\left( k - k_n \right) \int^L_0 dr' \, f_L( r' ) e^{- i k r' } = \frac{2\pi}{L} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta\left( k - k_n \right) f_L( k_n )$

逆変換は
$\displaystyle f( r ) = \frac{1}{2\pi} \int dk \, f(k) e^{ikr} = \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_L(k_n) e^{i k_n r} = \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_L(k_n) e^{i k_n ( r - mL )} \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int dr' \, f_L( r' ) e^{i k_n (r - mL - r')} \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{L} \frac{1}{\Delta k} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Delta k \, \int dr' \, f_L( r' ) e^{i k_n (r - mL - r')} \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2\pi} \int dk\, dr' \, f_L( r' ) e^{i k (r - mL - r')} \\ \displaystyle \qquad = \int dr' \, f_L( r' ) \delta( r - mL - r' ) \\ \displaystyle \qquad = f_L( r - mL )$
$m$ は $f( r ) = f_L( r - mL )$ を満たす整数である。

ここまでは、ほぼ一般のフーリエ級数の話である。
ここから、二段階の周期性を入れた「周期結晶のフーリエ級数展開」の話になる。

もし、関数 $g( r )$ が周期 $a$ の周期性を持つ場合、周期 $L$ は周期 $a$ を $N$ 個含むから、
$\displaystyle g( r ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} g_L( r - m L ) \\ \displaystyle g_L( r ) = \sum_{l = 0}^{N-1} g_a( r - l a )$

これにより、フーリエ級数は
$\displaystyle g_L( k_n ) = \int^L_0 dr' \, g_L( r' ) e^{- i k_n r' } = \sum_{l = 0}^{N-1} \int^a_0 dr' \, g_a( r' - l a ) e^{- i k_n r' } \\ \displaystyle \qquad = \sum_{l = 0}^{N-1} e^{-i ( k_n a ) l} \int^a_0 dr'' \, g_a( r'' ) e^{- i k_n r'' } \equiv \sum_{l = 0}^{N-1} e^{-i ( k_n a ) l} g_a( k_n )$

$\sum_{l = 0}^{N-1} e^{-i ( k_n a ) l}$ は以前にまとめた内容が使えて、 $n = n_K N$ （ $n_K$ ：任意の整数）のみが許される。
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注意として、以前の記事では $0 \le n \le N-1$ の範囲（後述）だったため $k_n = 0$ しか許されないが、今の場合には無限なのでゼロ以外にも成分が残る。
したがって、
$\displaystyle \sum_{l = 0}^{N-1} e^{-i ( k_n a ) l} = N \delta_{k_n, K} \\ \displaystyle K \equiv \frac{ 2 \pi }{ L } n_k N = \frac{ 2 \pi }{ N a } n_k N = \frac{ 2 \pi }{ a } n_K \\ \displaystyle g_L( k_n ) = N \delta_{k_n, K} g_a( K )$
$K$ は逆格子ベクトルと呼ばれ、周期 $a$ （格子定数）で決まる。
したがって、 $k = \tilde k + K$ とすれば、 $\tilde k = k_i ( 0 \le i \le N-1 )$ と $K_j = k_{jN}$ の二つのラベルで関数を表すことができる。
これが、以前に $0 \le n \le N-1$ の範囲しか考えなかった理由である（ $\tilde k_i ( 0 \le i \le N-1 )$ のみを考えていたということ）。

これにより、周期 $L$ を持つ関数 $f_L$ は、
$\displaystyle f_L( k ) = f_L( \tilde k + K ) = f_{L, K}(\tilde k)$
のように表すこともできる。

逆変換は、
$\displaystyle g( r ) = \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} g_L(k_n) e^{i k_n r} = \frac{1}{a} \sum_{j=-\infty}^{\infty} g_a(K_j) e^{i K_j ( r - j a )}$
となる。

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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

周期結晶におけるフーリエ変換（フーリエ級数展開）。