無限級数の部分和による近似。

無限級数を部分和に分解したときに、相対誤差がどのようになるかを考察してみた。
無限級数を以下のように定義する。
$\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty c^n = \frac{ 1 }{ 1 - c } \quad ( 0 \le c < 1 )$

この無限級数を次の様に部分和で近似してみる。
$\displaystyle \frac{ 1 }{ 1 - c } = \frac{ 1 }{ 1 - ( \alpha + ( 1 - \alpha ) ) c } \\ \displaystyle \quad \approx \frac{ 1 }{ 1 - \alpha c } + \frac{ 1 }{ 1 - ( 1 - \alpha ) c } = \frac{ 2 - c }{ 1 - c + \alpha( 1 - \alpha ) c^2 } \quad ( 0 \le \alpha \le 1 )$

この近似の相対誤差は、
$\displaystyle \left( \frac{ 1 }{ 1 - \alpha c } + \frac{ 1 }{ 1 - ( 1 - \alpha ) c } \right) / \left( \frac{ 1 }{ 1 - c } \right) = \frac{ 2 - 3 c + c^2 }{ 1 - c + \alpha( 1 - \alpha ) c^2 }$
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更に、 $\alpha = 0, 1$ で元の無限級数に一致させるために、重み付けして和を取ると、
$\displaystyle \frac{ 1 }{ 1 - c } \approx \alpha \frac{ 1 }{ 1 - \alpha c } + ( 1 - \alpha ) \frac{ 1 }{ 1 - ( 1 - \alpha ) c } = \frac{ 1 - 2 \alpha ( 1 - \alpha ) c }{ 1 - c + \alpha( 1 - \alpha ) c^2 }$
この相対誤差は、
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また、一部の部分和のみを取る場合、
$\displaystyle \frac{ 1 }{ 1 - c } \approx \frac{ 1 }{ 1 - \alpha c }$
その相対誤差 $( 1 - c ) / ( 1 - \alpha c )$ は以下のようになる。
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$c$ が1に極めて近いとき、 $\alpha$ が1からちょっと小さくなっただけで、相対誤差がかなり大きくなる（ゼロに近い＝元に比べてすごく小さくなっている）。

この「一部の部分和のみを取る近似」を、 $c > 1$ の範囲にまで拡張してみてみると、
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$c \rightarrow \infty$ の時、相対誤差は $( 1 - c ) / ( 1 - \alpha c ) \rightarrow 1 / \alpha$ に収束するが、その様子が表れている。
量子力学における、部分和による繰り込みで、「繰り込む項を増やすとどうなるか」についての何となくイメージを掴みたくてやってみたが、「 $\alpha$ をどれだけ1に近づけられるか」という視点で近似を眺めれば、最強発散する項だけ拾うのは理に適っているように感じた。

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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

無限級数の部分和による近似。