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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

上極限集合と下極限集合。

個人的には、数列を作った方が分かり易い。

  •  \limsup


\displaystyle
\lim_{m \to \infty} S_m \equiv \limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap^\infty_{k=1} \bigcup^\infty_{n=k} A_n
\\
\displaystyle
S_m \equiv \bigcap^{m}_{k=1} \bigcup^\infty_{n=k} A_n
\\
\displaystyle
S_1 = \bigcup^\infty_{n=1} A_n
\\
\displaystyle
S_{l+1} = S_l \cap \left( \bigcup^\infty_{n=l+1} A_n \right) \subset S_l
よって、数列 \{S_m\}は単調減少数列である。
また、 \bigcup^\infty_{n=l+1} A_n \supset A_{\infty}より、 \lim_{m \to \infty} S_m \supset A_{\infty}

  •  \liminf


\displaystyle
\lim_{m \to \infty} I_m \equiv  \liminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup^\infty_{k=1} \bigcap^\infty_{n=k} A_n
\\
\displaystyle
I_m \equiv \bigcup^{m}_{k=1} \bigcap^\infty_{n=k} A_n
\\
\displaystyle
I_1 = \bigcap^\infty_{n=1} A_n
\\
\displaystyle
I_{l+1} = I_l \cup \left( \bigcup^\infty_{n=2} A_n \right) \supset I_l
よって、数列 \{I_m\}は単調増加数列である。
また、 \bigcap^\infty_{n=l+1} A_n \subset A_{\infty}より、 \lim_{m \to \infty} I_m \subset A_{\infty}


したがって、 \liminf_{n \to \infty} A_n \subset \limsup_{n \to \infty} A_n が自然に言える。


実際に計算するときにも、数列を考えた方が扱い易いと思う。

例: A_n = [ 1/n, 1 ]


\displaystyle
\forall k \ge 1, \bigcup^\infty_{n=k}  [ 1/n, 1 ] = ( 0, 1]
\\
\therefore
\displaystyle
\forall m \ge1, S_m = ( 0, 1]
\\
 \limsup_{n \to \infty} A_n = \lim_{m \to \infty} S_m= ( 0, 1 ]


\displaystyle
I_1 = \bigcap^\infty_{n=1}  [ 1/n, 1 ] = [1]
\\
\displaystyle
I_2 = I_1 \cup \left( \bigcap^\infty_{n=2}  [ 1/n, 1 ] \right) = [ 1 ] \cup [1/2, 1] = [1/2, 1]
\\
\displaystyle
\therefore
I_m =  [1/m, 1]
\\
 \liminf_{n \to \infty} A_n = \lim_{m \to \infty} I_m= ( 0, 1 ]


参考サイト:
極限集合[数学についてのwebノート]
極限集合の解釈(イプシロンデルタ風に) - 岡竜之介のブログ