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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

等方的な関数のフーリエ変換。

数学
  • 1次元

r = |x|, q = |k_x|

\displaystyle f(k_x) = \int^\infty_{-\infty} dx\, f( r ) e^{ - i k_x x } = \int^\infty_0 dx\, f( r ) e^{ - i k_x x } + \int^0_{-\infty} dx\, f( r ) e^{ - i k_x x } \\ \displaystyle \qquad = \int^\infty_0 dr\, f( r ) e^{ - i k_x r } + \int^\infty_0 dr\, f( r ) e^{ i k_x r } = 2 \int^\infty_0 dr\, f( r ) \cos{( k_x r )} \\ \displaystyle \qquad = 2 \int^\infty_0 dr\, f( r ) \cos{( q r )} = f( q )

  • 2次元

r = \sqrt{ x^2 + y^2 }, q = \sqrt{ k_x^2 + k_y^2 }

\displaystyle f( \vec k ) = \int^\infty_{-\infty} dx\, \int^\infty_{-\infty} dy\, f( r ) e^{ - i \vec k \cdot \vec r } = \int^\infty_0 r dr\, f( r ) \int^{2\pi}_0 d \theta \, e^{ - i q r \cos( \theta - \theta_k ) } \\ \displaystyle \int^{2\pi}_0 d \theta \, e^{ - i q r \cos( \theta - \theta_k ) } = \int^{2\pi}_0 d \theta \, e^{ - i q r \cos \theta } = 2\pi J_0( q r ) \\ \displaystyle \therefore f( \vec k ) = \int^\infty_{-\infty} dx\, \int^\infty_{-\infty} dy\, f( r ) e^{ - i \vec k \cdot \vec r } = 2 \pi \int^\infty_0 dr\, f( r ) \left( r J_0( q r ) \right) = f( q )

  • 3次元

r = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 }, q = \sqrt{ k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 }

\displaystyle f( \vec k ) = \int^\infty_{-\infty} dx\, \int^\infty_{-\infty} dy\, \int^\infty_{-\infty} dz\, f( r ) e^{ - i \vec k \cdot \vec r } \\ \displaystyle \qquad = \int^\infty_0 r^2 dr\, f( r ) \int^{\pi}_0 \sin\theta d \theta \, e^{ - i q r \cos\theta } \int^{2\pi}_0 d\varphi \\ \displaystyle \qquad = 2\pi \int^\infty_0 r^2 dr\, f( r ) \int^1_{-1} du \, e^{ - i q r u } \\ \displaystyle \qquad = 4\pi \int^\infty_0 dr\, r^2 f( r ) \frac{ \sin( qr ) }{ qr } \\ \displaystyle \qquad = 4\pi \int^\infty_0 dr\, f( r ) \left( r^2 \frac{ \sin( qr ) }{ qr } \right) \\ \displaystyle \qquad = 4\pi \int^\infty_0 dr\, f( r ) \left( r^2 j_0( qr ) \right) \\ \displaystyle \qquad = f( q )