プリゴジンの『存在から発展へ』では、パイこね変換の回数を「時間」として見做し、パイこね変換を基にして時間演算子を定義した後にリウビリアンとの非可換性を論じている。 存在から発展へ【新装版】 | みすず書房時間演算子については、様々な議論がなさ…

ブール領域 の直積の部分集合として、以下のものを考える。 これは、次の様に書くことが出来ない。 これを、ここでは「分離不可能」と言うことにする。一方で、次のようなものは分離可能である。 よって、部分集合を取れば何でもよい訳ではなく、 は特殊な状…

時間反転演算子は反ユニタリー演算子である。 反ユニタリー演算子は、ユニタリー演算子と反線形演算子の積で表される。 教科書によって、「時間反転演算子のエルミート共役は取ってはいけない」と書いてあったり、普通にエルミート共役が定義されていたりす…

二体演算子は、（Fermion）粒子のペアが重要であり、順列には依らない。 N粒子系に作用する二体演算子は、の全ての粒子ペアを取ったもので表せる。 の位置表示について対角的だとすると、 N粒子系のSlater行列式は、 したがって、 最初は粒子のペアだったの…

前回、繰り込み因子と自己エネルギーの関係についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 自己エネルギーの虚部がゼロ（）であるところでは、スペクトル関数がデルタ関数で表せるため、（準）粒子のエネルギーが上手く定義出来ている。 その（準）粒子エ…

ずっと自分の中でよく分かってなかった。 Mahanをパラパラ読んでたらちゃんと書いてあった。係数には流儀があると思うが、自由状態において係数がとなるように（振動数での逆Fourier的な積分が1になるように）スペクトル関数を定義すると、 具体例として自由…

いっつも細かいところを忘れる。 良い記述を見つけたのでメモ。 The Hartree atomic units は微細構造定数, は水素原子の1s電子のエネルギー。 The Rydberg atomic units 参考文献 M. J. Cooper, P. E. Mijnarends, N. Shiotani, N. Sakai, and A. Bansil, "…

www.jstage.jst.go.jpCurve fitting (CF)だと最小のR因子を与えるパラメータ（の組）しか最終結果が得られないが、Thorough search (TS)だと（大雑把に言って）他の極小値もわかる、というもの。 具体的には、R因子に上限（例えばRヒストグラム（ある幅を持…

いつも忘れる。参考サイト。 位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明 - 三浦と窮理とブログ結局、運動量演算子が微分演算を含み、期待値（つまり積分）の中で部分積分を使うと符号と作用する関数を反転できる、ということによる。 ただ…

自分で毎回忘れるので、まとめておく。Fourier変換の符号や係数は、変換と逆変換とで対になっていれば良いため（語弊があるが）不定性があり、分野によって異なる（気がしている）。一応、自分ルールとして、 位置および時間を基準とし、波数もしくは（角）…

あるセル内の散乱によるセルT行列を と置くと、全てのサイトによる散乱Green関数 は次のように書ける。 ここで、 は自由散乱状態におけるGreen関数である。また、セルに属するサイトをという風に表した。セルT行列 はサイトT行列 を用いて次のように書ける。…

前回、Sommerfeld展開についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、（状態密度）として適用し、化学ポテンシャルの温度依存性について調べる。 ここで、 とすると、Tayler展開を用いて次のように書ける。 ここで、自由電子の状態密度が であるた…

Sommerfeld展開は、Fermi分布関数 が掛かった関数の積分値に関する展開式で、以下のように表される。 室温程度であれば、(が十分滑らかな関数である限り) 第二項までの打ち切りが良い近似として成り立つことが知られている。 この展開を導出してみることにす…

そもそもの大前提として、系が周期性を持ち、ハミルトニアンが（周期性を保つ）並進操作に対して不変であるとする。 平面波で基底を展開すると、強く局在したcore状態との直交性を記述しようとするために高い波数が必要になってしまい、実際に計算するにはと…

数演算子 の波数表示を求める。まず、素直にをフーリエ級数展開で波数表示にしてみる。 にを代入することでを求める。 元に戻るかを確認すると、 の対称性として、が使える。 もしくは以下のようにしても示せる。 特別にのとき、 というように、電子数変化の…

演算子、もしくは確率変数をと置き、それらの期待値（平均値）をそれぞれすると、 という式が成り立つ。 これはまだ厳密である。ここで、「は平均値にそれぞれ近いから、「揺らぎ」である, は凄く小さい」と考えるのが平均場近似である。 ポイントは、という…

ハバードモデルにあるオンサイトクーロン項の波数表示 を証明する。証明には、以下の関係式が必要である。 これらは以下の記事で扱ったことがある。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comよって、

時間発展演算子は、一般のハミルトニアンに対して次のように表される。 注意として、の順番は勝手に変えてはいけない。 順番を変えて良いのは、同じ時刻の時にのみ限る。 二番目の積分を変形していくが、以下の積分は変数変換をするわけではなく、厳密に同じ…

以前に、CoulombポテンシャルのFourier変換を、Poisson方程式を経由することで求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は収束因子を導入することによって求める。 と定義すると、 この積分を評価する。と定義し、と置くと、 したがって、

電子ガス模型における電子間相互作用の効果を、一次摂動で求める。 ここで、変数変換およびをすると、対称性が良くなる。 半径の球を考える。のとき、の動く範囲はこの球に一致する。 絶対値の中身を具体的に考えると、 これをもとに、で固定したときに許さ…

電子密度 電子一個が占める球の半径 Bohr半径 Bohr半径で規格化した電子一個分の半径 Fermi波数

参考文献：Fetter-WaleckaBosonの多電子波動関数は一電子Boson波動関数および展開係数を用いて、一般に以下のように書ける。 上記に対する例を挙げると、 注意として、 占有率表示における規格化条件は、 のうち、"1"の状態に割り振る数を、"2"に割り振る数…

無限級数を部分和に分解したときに、相対誤差がどのようになるかを考察してみた。 無限級数を以下のように定義する。 この無限級数を次の様に部分和で近似してみる。 この近似の相対誤差は、 更に、で元の無限級数に一致させるために、重み付けして和を取る…

いつも公式を忘れるので、ここでまとめる。 Campbell-Baker-Hausdorffの公式を帰納法を用いて証明する。 帰納法を使えば、 したがって、一般の次数における微分係数が求まったため、Maclaurin展開より、 Campbell-Baker-Hausdorffの公式を（自由）電子系に応…

前回、三準位系について考察した。 koideforest.hatenadiary.com今回は、実際にエネルギー準位が相互作用によってどう変化するかをプロットする。 import numpy as np import sympy as sy from matplotlib import pyplot as plt # eigenvalues e, v12, v23 =…

三準位系で、1と3は相互作用しないが、それぞれ2と相互作用しているときの1と3の関係について知りたい。解きたい行列式。 簡単のため、 更に簡単のため、。 のとき、 となり、中心のは動かない。 二準位だけ考えた場合の分裂幅は、 であることから、三準位で…

「変分で求めた基底エネルギーは、真の基底エネルギーよりも高い」のは良い。しかし、「（定常）変分で求めた励起状態エネルギーは、真の励起状態エネルギーよりも高い」ことの証明は、ネット上でチラホラ見掛けるが、間違っている。励起状態に関しては、何…

Hohenberg-Kohnの第一定理は以下の様なものである。 「外場と基底状態電子密度は一対一対応する。」 これは、背理法で証明されることがほとんどだろう。しかし、背理法そのものについて学ぶことは、あまりない気がしたので、ここでまとめる。「命題」を、「…

自己エネルギーがずっとわかったようでわからなかったので、二準位系で求めて見た。ハミルトニアンを次のように定義する。 次に、射影演算子を次のように定義する。 これによって、ハミルトニアンを（機械的に）対角項と非対角項に分けることが出来る。 もし…

文字通り、波動関数の節を数える。ndarrayの中で条件を満たす要素数を数える方法。 NumPy配列ndarrayの条件を満たす要素数をカウント | note.nkmk.me import numpy as np x_min, x_max, N = 0, 3*np.pi, 100 x = np.linspace( x_min, x_max, N ) wave = np.c…