オイラー・ラグランジュ方程式の導出におけるラグランジュアンの偏微分

ラグランジュアンの微分について、佐久間さんの呟きを見つけた。

∂L/∂vに物理的解釈なんか求めなくていいけど、考えずにはいられない物理学徒のために言うと、「関数yを動かすときy,y'は独立ではない。関数を考えるな。架空の位置wと速度vの対(状態)全体のなす空間ではw,vは独立だからwを止めながらvを動かすことが意味をもつ。架空の速度によるLの微分が∂L/∂v」
— 佐久間 (@keisankionwykip) 2021年12月5日

昔の自分の記事で考察したことがあったのを思い出した。
koideforest.hatenadiary.com
改めて見直すと、汎関数微分を全微分で考えようとしていたり、不正確なところもあり、反省した。
その上で、数学と物理の考え方の違いが自分の中で見えた気がする。

ラグランジュアン $L(q(t),\dot q(t),t)$ の考え方に、二つあると見た。

物理：最終的には時間の関数と思う。
数学：独立な２変数（もしくは３変数）を引数に持つ関数と思う。

$q(t)$ と $\dot q(t)$ は時間の関数だから、 $L(q(t),\dot q(t),t)$ に $q(t)$ と $\dot q(t)$ の具体的な形を入れると、結局は時間変数 $t$ だけで表されることになる。
荒っぽく言えば、時間だけの関数を都合の良いように $(q(t),\dot q(t),(t))$ で分けて、それぞれを独立だと思って偏微分すると、それらしいものが得られる。

一方で、本来、 $L$ を関数として考えるならば、定義域をしっかり規定する必要がある。 $L(q,\dot q,(t))$ の形にする時点で、独立な変数の組 $(w,v,\tau)$ の全領域（もしくは物理として必要な領域）で $L(w,v,(\tau))$ が定義されていて、その微分（導関数）も（物理として使う上で）定義されている必要がある。
この導関数は、独立な変数の組 $(w,v,\tau)$ に対する微分操作によって得られる。
物理として $L(q(t),\dot q(t),(t))$ やその導関数を使う場合には、独立な変数の組 $(w,v,\tau)$ の値として $(q(t),\dot q(t),(t))$ を代入したと考えるべきなのだろう。