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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

リウビリアンから時間演算子を構築する妄想

プリゴジンの『存在から発展へ』では、パイこね変換の回数を「時間」として見做し、パイこね変換を基にして時間演算子を定義した後にリウビリアンとの非可換性を論じている。 存在から発展へ【新装版】 | みすず書房時間演算子については、様々な議論がなさ…

摩擦のある直線運動のラグランジュアン、ハミルトニアン、リウビリアン

前回、ラグランジュアンからハミルトニアン、リウビリアンまでの流れをまとめた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、具体的な問題として、摩擦のある直線運動を扱う。 ニュートン方程式 普通に解くと、 ラグランジュ方程式 天下り的だが、ニュートン方程…

(古典)解析力学:ラグランジュアンとハミルトニアンとリウビリアン

ラグランジュアンから出発して、ハミルトニアン、そしてリウビリアンまで概説する。 ラグランジュアンからハミルトニアンまで ラグランジュアンが満たすラグランジュ方程式 の全微分 ルジャンドル変換により、ハミルトニアンを定義。 ははの関数である。 は…

2次元ヒストグラムにおける最適輸送距離

異なる2次元ヒストグラム間での最適輸送距離を計算してみた。 import numpy as np import itertools import ot from matplotlib import pyplot as plt n = 100 bins_ = 10 range_ = ([0,1],[0,1]) d_TF = True # input 2-dim. histogram-1 r = np.random.ran…

二次元ヒストグラムの計算およびプロット(python)

いつも忘れるので個人用のメモ参考ページ matplotlib - hist2d で2次元ヒストグラムを作成する方法 - pystyle [Python]Matplotlibで2次元ヒストグラムを作成する方法 - Qiita NumPyでヒストグラムを作るnp.histogram関数の使い方 - DeepAgeヒストグラムの棒…

numpyで異なる離散分布における各点間のノルムを総当たりに得る方法

最適輸送距離について調べていた時に、何をやっているのかパッとわからないノルムの取り方をしているコードがあった。 最適輸送入門 n = 100 # 点群サイズ mu = np.random.randn(n, 2) # 入力分布 1 nu = np.random.randn(n, 2) + 1 # 入力分布 2 C = np.lin…

FFTでフーリエ変換

昔の記事で、FFTでフーリエ変換する内容を紹介した。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comそこから、フーリエ変換をパッと計算出来るヘルパー関数をまとめていなかったので、自分用にまとめる。 from scipy.fftpack import fft, fftfre…

多面体の内側に点があるかどうかを判定する。

多面体の頂点の座標が分かっているとする。 多面体の内側の点を原点に取り、対象とする点が多面体の内側に入っているかどうかを判断したい。もし対象点が多面体の外側にあるとき、「多面体の頂点ベクトルを(原点から見た)対象点の方向に射影させると、射影…

pythonでLebedev quadratureを使う(更新)

以前にquadpyについて紹介した。 koideforest.hatenadiary.com しかし、記事が古くなっていて、仕様がいろいろ変更されたようなので、更新する。 詳しい内容は公式のGitHubページを参照。 GitHub - nschloe/quadpy: Numerical integration (quadrature, cuba…

エネルギー等分配則を並進・回転・振動に分けずに理解する。

エネルギー等分配則の本質は、 である。 期待値の計算は、ここでは省略する。もう少し具体的にハミルトニアンを表すと, 第二項はいわゆる「振動」を与える調和ポテンシャルである。 これがエネルギー等分配則を語る上で、本来最初に宣言するべきハミルトニア…

カノニカル相関

ハミルトニアンが摂動部分を持つとし、統計平均を以下で定める。 このとき、カノニカル相関は次のように定義される。 非摂動状態による統計平均で書かれているところがポイントである。一次摂動における等温感受率は、カノニカル相関を用いて表現できる。 ま…

ブール領域を用いたエンタングルメントの説明。

ブール領域 の直積の部分集合として、以下のものを考える。 これは、次の様に書くことが出来ない。 これを、ここでは「分離不可能」と言うことにする。一方で、次のようなものは分離可能である。 よって、部分集合を取れば何でもよい訳ではなく、 は特殊な状…

上極限集合と下極限集合。

個人的には、数列を作った方が分かり易い。 よって、数列は単調減少数列である。 また、より、 よって、数列は単調増加数列である。 また、より、 したがって、が自然に言える。 実際に計算するときにも、数列を考えた方が扱い易いと思う。例: 参考サイト:…

時間反転演算子のエルミート共役について。

時間反転演算子は反ユニタリー演算子である。 反ユニタリー演算子は、ユニタリー演算子と反線形演算子の積で表される。 教科書によって、「時間反転演算子のエルミート共役は取ってはいけない」と書いてあったり、普通にエルミート共役が定義されていたりす…

pandasに一からデータを入れる(自分用メモ)。

pandasの使い方をググると、多くの場合にはsampleのcsvファイルを用意してそれを読み込ませてから使うという流れのものが多い印象がある。 読み込ませるファイルの区切りは基本的にカンマかタブであることを前提として作られている。 しかし、数値計算を扱っ…

pythonでの==とisの違い。

次のコードを見て頂きたい。 x = 0; y = 0 if (x, y) is (0, 0): print( True ) else: print( False ) if (x, y) == (0, 0): print( True ) else: print( False ) ニュアンスはどちらも同じようなことをしたい訳だが、"is"では"False"が、"=="では"True"が出…

pythonでawkを呼んでファイルを編集する。

pythonを使って、awkでinput fileを編集しながらプログラムを回したい。参考サイト様: テキスト処理にたまに便利なAWK入門 - Qiita awkで処理結果を元になったファイルに上書きする | 俺的備忘録 〜なんかいろいろ〜 フォーマット文字列内での波括弧のエス…

グラフ理論の個人用メモ(その2)

bipartite grapheのcycleは全て偶数長。 edge数の制限 vertex数のsimple graphにおいて、connected graphが個含まれているとき、edge数は次の不等式を満たす。 これは、cycleが無いときに最もedge数が少なく、complete graphのときに最もedge数が多いことが…

グラフ理論の個人用メモ。

graph vertexとedgeの集合。 vertex 点。 edge 二つのvertexの非順序対。辺。 adjacent edgeで繋がれている二つのvertex間の関係。もしくは、veterxを共有している二つのedgeの関係。隣接。 incident edgeにvertexが含まれているときの「edgeとvertex」の関…

ネイピア数について。

が微分によって不変である性質を使うと、 左右微分を気にすれば、次のことが言える。 同様により、 でははどうなるかというと、 また、マクローリン展開を利用すると、

外部プログラムをpythonでループさせて動かす(自分用のメモ)。

pythonを使って外部プログラムをループ動作させる。エラーが起こることを想定して、適当にエラーを起こさせるためのfortranプログラムのソースを用意。 ! test.f90 program test open( 10, file = 'test.inp', status = 'old' ) end program test 適当にコン…

周期結晶におけるフーリエ変換(フーリエ級数展開)。

そもそもの「フーリエ変換」と「フーリエ級数」の違いについては以下のサイトが詳しい。 フーリエ変換とDFTの関係 離散化と周期化ざっとまとめると、 フーリエ変換:x(連続、非周期)→ k(連続、非周期) フーリエ級数:x(連続、周期)→ k(離散、非周期)…

ASEでバンド図のフェルミエネルギーを設定する話。

ASEを使ってQuantum ESPRESSOを動かすチュートリアルをやってみた。 Espresso — ASE documentation 第一原理計算高速チュートリアル · 物性実験家のための無料でできる第一原理計算入門すると、計算したフェルミエネルギーをバンド図のプロットで設定しよう…

二体演算子の第二量子化

二体演算子は、(Fermion)粒子のペアが重要であり、順列には依らない。 N粒子系に作用する二体演算子は、の全ての粒子ペアを取ったもので表せる。 の位置表示について対角的だとすると、 N粒子系のSlater行列式は、 したがって、 最初は粒子のペアだったの…

有効質量と自己エネルギーについて。

前回、繰り込み因子と自己エネルギーの関係についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 自己エネルギーの虚部がゼロ()であるところでは、スペクトル関数がデルタ関数で表せるため、(準)粒子のエネルギーが上手く定義出来ている。 その(準)粒子エ…

繰り込み因子に自己エネルギーの微分が入る件について。

ずっと自分の中でよく分かってなかった。 Mahanをパラパラ読んでたらちゃんと書いてあった。係数には流儀があると思うが、自由状態において係数がとなるように(振動数での逆Fourier的な積分が1になるように)スペクトル関数を定義すると、 具体例として自由…

Hartree原子単位系とRydberg原子単位系

いっつも細かいところを忘れる。 良い記述を見つけたのでメモ。 The Hartree atomic units は微細構造定数, は水素原子の1s電子のエネルギー。 The Rydberg atomic units 参考文献 M. J. Cooper, P. E. Mijnarends, N. Shiotani, N. Sakai, and A. Bansil, "…

等速円運動の曲率半径

自然座標 が描く軌道上の点を基準点に選ぶ。ここから軌道に沿ったまでの距離をとおけば、これを一般化して基準点からの軌道に沿った距離は時間の関数で表せる。 これを推し進め、と変換すれば、軌道はの変数としてみなすことが出来る。この表現を用いて、速…

EXAFS解析の"Thorough Search"法について。

www.jstage.jst.go.jpCurve fitting (CF)だと最小のR因子を与えるパラメータ(の組)しか最終結果が得られないが、Thorough search (TS)だと(大雑把に言って)他の極小値もわかる、というもの。 具体的には、R因子に上限(例えばRヒストグラム(ある幅を持…

運動量演算子のエルミート性。

いつも忘れる。参考サイト。 位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明 - 三浦と窮理とブログ結局、運動量演算子が微分演算を含み、期待値(つまり積分)の中で部分積分を使うと符号と作用する関数を反転できる、ということによる。 ただ…