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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

ブール領域を用いたエンタングルメントの説明。

ブール領域 の直積の部分集合として、以下のものを考える。 これは、次の様に書くことが出来ない。 これを、ここでは「分離不可能」と言うことにする。一方で、次のようなものは分離可能である。 よって、部分集合を取れば何でもよい訳ではなく、 は特殊な状…

上極限集合と下極限集合。

個人的には、数列を作った方が分かり易い。 よって、数列は単調減少数列である。 また、より、 よって、数列は単調増加数列である。 また、より、 したがって、が自然に言える。 実際に計算するときにも、数列を考えた方が扱い易いと思う。例: 参考サイト:…

時間反転演算子のエルミート共役について。

時間反転演算子は反ユニタリー演算子である。 反ユニタリー演算子は、ユニタリー演算子と反線形演算子の積で表される。 教科書によって、「時間反転演算子のエルミート共役は取ってはいけない」と書いてあったり、普通にエルミート共役が定義されていたりす…

pandasに一からデータを入れる(自分用メモ)。

pandasの使い方をググると、多くの場合にはsampleのcsvファイルを用意してそれを読み込ませてから使うという流れのものが多い印象がある。 読み込ませるファイルの区切りは基本的にカンマかタブであることを前提として作られている。 しかし、数値計算を扱っ…

pythonでの==とisの違い。

次のコードを見て頂きたい。 x = 0; y = 0 if (x, y) is (0, 0): print( True ) else: print( False ) if (x, y) == (0, 0): print( True ) else: print( False ) ニュアンスはどちらも同じようなことをしたい訳だが、"is"では"False"が、"=="では"True"が出…

pythonでawkを呼んでファイルを編集する。

pythonを使って、awkでinput fileを編集しながらプログラムを回したい。参考サイト様: テキスト処理にたまに便利なAWK入門 - Qiita awkで処理結果を元になったファイルに上書きする | 俺的備忘録 〜なんかいろいろ〜 フォーマット文字列内での波括弧のエス…

グラフ理論の個人用メモ(その2)

bipartite grapheのcycleは全て偶数長。 edge数の制限 vertex数のsimple graphにおいて、connected graphが個含まれているとき、edge数は次の不等式を満たす。 これは、cycleが無いときに最もedge数が少なく、complete graphのときに最もedge数が多いことが…

グラフ理論の個人用メモ。

graph vertexとedgeの集合。 vertex 点。 edge 二つのvertexの非順序対。辺。 adjacent edgeで繋がれている二つのvertex間の関係。もしくは、veterxを共有している二つのedgeの関係。隣接。 incident edgeにvertexが含まれているときの「edgeとvertex」の関…

ネイピア数について。

が微分によって不変である性質を使うと、 左右微分を気にすれば、次のことが言える。 同様により、 でははどうなるかというと、 また、マクローリン展開を利用すると、

外部プログラムをpythonでループさせて動かす(自分用のメモ)。

pythonを使って外部プログラムをループ動作させる。エラーが起こることを想定して、適当にエラーを起こさせるためのfortranプログラムのソースを用意。 ! test.f90 program test open( 10, file = 'test.inp', status = 'old' ) end program test 適当にコン…

周期結晶におけるフーリエ変換(フーリエ級数展開)。

そもそもの「フーリエ変換」と「フーリエ級数」の違いについては以下のサイトが詳しい。 フーリエ変換とDFTの関係 離散化と周期化ざっとまとめると、 フーリエ変換:x(連続、非周期)→ k(連続、非周期) フーリエ級数:x(連続、周期)→ k(離散、非周期)…

ASEでバンド図のフェルミエネルギーを設定する話。

ASEを使ってQuantum ESPRESSOを動かすチュートリアルをやってみた。 Espresso — ASE documentation 第一原理計算高速チュートリアル · 物性実験家のための無料でできる第一原理計算入門すると、計算したフェルミエネルギーをバンド図のプロットで設定しよう…

二体演算子の第二量子化

二体演算子は、(Fermion)粒子のペアが重要であり、順列には依らない。 N粒子系に作用する二体演算子は、の全ての粒子ペアを取ったもので表せる。 の位置表示について対角的だとすると、 N粒子系のSlater行列式は、 したがって、 最初は粒子のペアだったの…

有効質量と自己エネルギーについて。

前回、繰り込み因子と自己エネルギーの関係についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 自己エネルギーの虚部がゼロ()であるところでは、スペクトル関数がデルタ関数で表せるため、(準)粒子のエネルギーが上手く定義出来ている。 その(準)粒子エ…

繰り込み因子に自己エネルギーの微分が入る件について。

ずっと自分の中でよく分かってなかった。 Mahanをパラパラ読んでたらちゃんと書いてあった。係数には流儀があると思うが、自由状態において係数がとなるように(振動数での逆Fourier的な積分が1になるように)スペクトル関数を定義すると、 具体例として自由…

Hartree原子単位系とRydberg原子単位系

いっつも細かいところを忘れる。 良い記述を見つけたのでメモ。 The Hartree atomic units は微細構造定数, は水素原子の1s電子のエネルギー。 The Rydberg atomic units 参考文献 M. J. Cooper, P. E. Mijnarends, N. Shiotani, N. Sakai, and A. Bansil, "…

等速円運動の曲率半径

自然座標 が描く軌道上の点を基準点に選ぶ。ここから軌道に沿ったまでの距離をとおけば、これを一般化して基準点からの軌道に沿った距離は時間の関数で表せる。 これを推し進め、と変換すれば、軌道はの変数としてみなすことが出来る。この表現を用いて、速…

EXAFS解析の"Thorough Search"法について。

www.jstage.jst.go.jpCurve fitting (CF)だと最小のR因子を与えるパラメータ(の組)しか最終結果が得られないが、Thorough search (TS)だと(大雑把に言って)他の極小値もわかる、というもの。 具体的には、R因子に上限(例えばRヒストグラム(ある幅を持…

運動量演算子のエルミート性。

いつも忘れる。参考サイト。 位置演算子と運動量演算子はエルミート演算子であることの証明 - 三浦と窮理とブログ結局、運動量演算子が微分演算を含み、期待値(つまり積分)の中で部分積分を使うと符号と作用する関数を反転できる、ということによる。 ただ…

単一三角格子の固有値問題。

単一三角格子において、各サイトへのホッピングをで表すと、ハミルトニアンは と書ける。 このハミルトニアンの固有値と固有ベクトルを求める。三次方程式の解き方を忘れたので、以下のサイトを参照。 三次方程式の解き方と例題3問 | 高校数学の美しい物語 …

等方的な関数のフーリエ変換。

1次元 2次元 3次元

Gaussianの半値幅。

規格化されたGaussianは次の形で与えられる。 規格化されている(積分値が1になっている)ことは、次のようにして確かめられる。 を用いた表記は、統計学的な処理を行う際に便利である(と想像される)が、直感的にどれくらいの幅を持つのかが分かりにくい。…

NiOの反強磁性結晶構造における対称性をspglibを使って求める。

通常の結晶構造であれば、データベースか何かから引っ張って来れるが、それをベースにした超周期構造を作ろうと思うと、対称性(空間群)が変わるため、手でやるには歯が立たない。 そこで、入力した原子座標に対して対称性を見つけてくれる spglib を使って…

gfortran での変数の次元の制約。

何も考えずにプログラムを作っていたら、配列の次元が7個を超えるとコンパイルできないらしい。 program test_array7 real( kind( 0d0 ) ) :: r( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ) end program test_array7 これを gfortran でコンパイルすると test_array7.f90:3:4…

Fourier変換の符号や係数の気持ち。

自分で毎回忘れるので、まとめておく。Fourier変換の符号や係数は、変換と逆変換とで対になっていれば良いため(語弊があるが)不定性があり、分野によって異なる(気がしている)。一応、自分ルールとして、 位置および時間を基準とし、波数もしくは(角)…

実空間多重散乱からKKR法への接続。

あるセル内の散乱によるセルT行列を と置くと、全てのサイトによる散乱Green関数 は次のように書ける。 ここで、 は自由散乱状態におけるGreen関数である。また、セルに属するサイトをという風に表した。セルT行列 はサイトT行列 を用いて次のように書ける。…

T行列のサイトT行列展開とセルT行列展開。

T行列は元々サイトポテンシャルの展開で以下の様に定義されている。 しかし、「違うサイトへの伝搬」と「同じサイト内での多重散乱」が混在しており、実際の計算には非常に不便である。 そこで、同じサイトのポテンシャル散乱を繰り込んだサイトT行列を定義…

python で Lebedev quadrature を使う。

以前にLebedev求積法について紹介した。 koideforest.hatenadiary.com最近ではpythonでもLebedev求積法が使えるmoduleがあるらしい。 quadpy · PyPIとりあえずテストコードを書いた。 import numpy as np import quadpy def f_cart( xyz ): # np.shape( xyz …

定数ポテンシャルを与える球対称電子密度について。

Poisson方程式の解は、 と書ける(原子単位系)。多重極子展開および角運動量展開を利用すると、 ここで、元々 の時、 が半径まで値を持つ場合において、その内側で が定数になる の形を求めることを試みる。 定数であるから、微分するとポテンシャルはゼロ…

化学ポテンシャルの温度依存性。

前回、Sommerfeld展開についてまとめた。 koideforest.hatenadiary.com 今回は、(状態密度)として適用し、化学ポテンシャルの温度依存性について調べる。 ここで、 とすると、Tayler展開を用いて次のように書ける。 ここで、自由電子の状態密度が であるた…