単一三角格子の固有値問題。

単一三角格子において、各サイトへのホッピングを $t$ で表すと、ハミルトニアンは
$\displaystyle H = \begin{pmatrix} 0&t&t\\t&0&t\\t&t&0 \end{pmatrix}$
と書ける。
このハミルトニアンの固有値と固有ベクトルを求める。

$\displaystyle \begin{vmatrix} -\varepsilon&t&t\\t&-\varepsilon&t\\t&t&-\varepsilon \end{vmatrix} = 0 \\ \displaystyle \therefore ( - \varepsilon^3 + 2 t^3 ) - ( - 3 t^2 \varepsilon) = 0 \\ \displaystyle \Rightarrow \varepsilon^3 - 3 t^2 \varepsilon - 2 t^3 = 0$

三次方程式の解き方を忘れたので、以下のサイトを参照。
三次方程式の解き方と例題３問 | 高校数学の美しい物語
 方程式の有理数解 | 高校数学の美しい物語
要するに、 $\varepsilon^3$ の係数は $1$ なので、解が有理数であるならば、定数次項である $-2t^3$ の約数が一つの解になっているはずである。
実際、 $\varepsilon = - t$ で確かに方程式がゼロになる。
よって、 $(\varepsilon + t)$ で約分して行けば、
$\displaystyle (\varepsilon + t )^2 (\varepsilon - 2t ) = 0 \\ \displaystyle \therefore \varepsilon = -t, 2t$

$\varepsilon = 2t$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2t&t&t\\t&-2t&t\\t&t&-2t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = 0 \\ \displaystyle \therefore c_1 = c_2 = c_3 \\ \displaystyle \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\varepsilon = -t$

$\displaystyle \begin{pmatrix} t&t&t\\t&t&t\\t&t&t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = 0 \\ \displaystyle \therefore c_1 = - c_2 - c_3 \\ \displaystyle \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} = c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

単一三角格子の固有値問題。