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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

Gaussianの半値幅。

規格化されたGaussianは次の形で与えられる。

\displaystyle
g( x ) = \frac{ 1 }{ \sigma \sqrt{ 2 \pi } } e^{ - \frac{ ( x - \mu )^2 }{ 2 \sigma^2 } }

規格化されている(積分値が1になっている)ことは、次のようにして確かめられる。

\displaystyle
\int^\infty_{-\infty} dx \, e^{ - a x^2 } = \sqrt{ \frac{ \pi }{ a } }
\\
\displaystyle
\therefore
\int^\infty_{-\infty} dx \, g( x ) = \frac{ 1 }{ \sigma \sqrt{ 2 \pi } } \sqrt{ \frac{ \pi }{ \frac{ 1 }{ 2 \sigma^2 }  } } = 1

 \sigmaを用いた表記は、統計学的な処理を行う際に便利である(と想像される)が、直感的にどれくらいの幅を持つのかが分かりにくい。
そこで、半値 \Gammaを用いた表記を考えることにする。
 \Gammaの定義は、次で与えられる。

\displaystyle
\frac{ g( \Gamma + \mu ) }{ \max{ g } }
  = \frac{ g( \Gamma + \mu ) }{ g( \mu ) }
  = e^{ - \frac{ \Gamma^2 }{ 2 \sigma^2 } } = \frac{1}{2}

したがって、 \sigma \rightarrow \Gammaの変換は、

\displaystyle
  - \frac{ \Gamma^2 }{ 2 \sigma^2 } = \ln{ \frac{1}{2} } = - \ln{2}
\\
\displaystyle
  \Gamma^2 = 2 \sigma^2 \ln{2}
\\
\displaystyle
\therefore
  \Gamma = \sigma \sqrt{ 2 \ln{2} } \Leftrightarrow \sigma = \frac{ \Gamma }{ \sqrt{ 2 \ln{2} } }
数値的に見積もると、 \Gamma \approx 1.2 \sigmaとなる。半値 \Gamma \sigmaよりも気持ちちょっと大きい程度である。

元のGaussianの式を \Gammaで表すと、

\displaystyle
g( x ) = \frac{1}{ \Gamma } \sqrt{ \frac{ \ln{2} }{ \pi } } e^{ - \frac{ \ln{2} }{ \Gamma^2 } ( x - \mu )^2 }

(おそらくLorentz関数でもそうだと思うが、)Gaussian型のピーク形状の場合、半値 2\Gamma(文献によっては、 \Gammaを半値幅の表記に用いる場合もあるため、注意が必要)を分解能として扱うため、Gaussian broadening等で理論値に実験誤差を入れ込む場合には、半値幅の用いた表記の方が便利である。