電子ガス模型における電子間相互作用の一次摂動。

電子ガス模型における電子間相互作用の効果を、一次摂動で求める。
$\displaystyle E^{(1)} = \langle V \rangle_0 \\ \displaystyle \qquad = \frac{ e^2 }{ 2\Omega } \sum_{ \sigma_1, \sigma_2 } \sum_{ \boldsymbol k_1, \boldsymbol k_2 } \sum_{ \boldsymbol q ( \neq \boldsymbol 0) } \frac{ 4 \pi }{ q^2 } \langle a_{ \boldsymbol k_1 + \boldsymbol q, \sigma_1 }^\dagger a_{ \boldsymbol k_2 - \boldsymbol q, \sigma_2 }^\dagger a_{ \boldsymbol k_2, \sigma_2 } a_{ \boldsymbol k_1, \sigma_1 } \rangle_0 \\ \displaystyle \qquad = \frac{ e^2 }{ 2\Omega } \sum_{ \sigma_1, \sigma_2 } \sum_{ \boldsymbol k_1, \boldsymbol k_2 } \sum_{ \boldsymbol q ( \neq \boldsymbol 0) } \frac{ 4 \pi }{ q^2 } \delta_{ \boldsymbol k_1 + \boldsymbol q, \boldsymbol k_2 } \delta_{\sigma_1, \sigma_2} \langle a_{ \boldsymbol k_1 + \boldsymbol q, \sigma_1 }^\dagger a_{ \boldsymbol k_1, \sigma_1 }^\dagger a_{ \boldsymbol k_1 + \boldsymbol q, \sigma_1 } a_{ \boldsymbol k_1, \sigma_1 } \rangle_0 \\ \displaystyle \qquad = \frac{ e^2 }{ 2\Omega } \sum_{ \sigma } \sum_{ \boldsymbol k } \sum_{ \boldsymbol q ( \neq \boldsymbol 0) } \frac{ 4 \pi }{ q^2 } \langle a_{ \boldsymbol k + \boldsymbol q, \sigma }^\dagger a_{ \boldsymbol k, \sigma }^\dagger a_{ \boldsymbol k + \boldsymbol q, \sigma } a_{ \boldsymbol k, \sigma } \rangle_0 \\ \displaystyle \qquad = - \frac{ e^2 }{ 2\Omega } \sum_{ \sigma } \sum_{ \boldsymbol k } \sum_{ \boldsymbol q ( \neq \boldsymbol 0) } \frac{ 4 \pi }{ q^2 } \langle n_{ \boldsymbol k + \boldsymbol q, \sigma } n_{ \boldsymbol k, \sigma } \rangle_0 \\ \displaystyle \qquad = - \frac{ e^2 }{ 2\Omega } \sum_{ \sigma } \sum_{ \boldsymbol k } \sum_{ \boldsymbol q ( \neq \boldsymbol 0) } \frac{ 4 \pi }{ q^2 } \theta( k_F - | \boldsymbol k + \boldsymbol q| ) \theta( k_F - k ) \\ \displaystyle \qquad = - \frac{ e^2 }{ \Omega } \sum_{ \boldsymbol k } \sum_{ \boldsymbol q ( \neq \boldsymbol 0) } \frac{ 4 \pi }{ q^2 } \theta( k_F - | \boldsymbol k + \boldsymbol q| ) \theta( k_F - k ) \\ \displaystyle \qquad = - \frac{ 4\pi e^2 }{ \Omega } \left[ \left( \frac{ \Omega }{ ( 2 \pi )^3 } \right) \right]^2 \int d \boldsymbol k \, d\boldsymbol q \, \frac{ 1 }{ q^2 } \theta( k_F - | \boldsymbol k + \boldsymbol q| ) \theta( k_F - k )$

ここで、変数変換 $\boldsymbol P = \boldsymbol k + \boldsymbol q / 2$ および $\boldsymbol Q = \boldsymbol q / 2$ をすると、対称性が良くなる。
$\displaystyle \int d \boldsymbol k \, d\boldsymbol q \, \frac{ 1 }{ q^2 } \theta( k_F - | \boldsymbol k + \boldsymbol q| ) \theta( k_F - k ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \int d \boldsymbol P \, d\boldsymbol Q \, \frac{ 1 }{ 4 Q^2 } \theta( k_F - | \boldsymbol P + \boldsymbol Q | ) \theta( k_F - | \boldsymbol P - \boldsymbol Q | )$

半径 $k_F$ の球を考える。 $P = 0$ のとき、 $\boldsymbol Q$ の動く範囲はこの球に一致する。
絶対値の中身を具体的に考えると、
$\displaystyle R^\pm = | \boldsymbol P \pm \boldsymbol Q | = \sqrt{ P^2 + Q^2 \pm 2 P Q \cos\theta }$
これをもとに、 $Q < k_F$ で固定したときに許される $\boldsymbol P$ の範囲について考える。

$P^2 + Q^2 = k_F^2$ のとき、 $R^+$ は $\cos\theta \le 0$ であれば球をはみ出ないが、その場合 $R^-$ ははみ出てしまう。したがって、このとき $\boldsymbol P$ と $\boldsymbol Q$ は直交している。
$( P^2 + Q^2 < k_F^2$ かつ $\cos\theta \ge 0$ において $\Rightarrow ( R^+ \le k_F )$ であれば、 $R^- \le k_F$ が保証されている。逆も同様。

したがって、 $\boldsymbol P$ が動く範囲は、二つの半径 $kF$ の球を原点同士の距離が $2Q \le 2 k_F$ になるように重ね合わせたときの被った部分に対応する。

被った部分の体積は、軸対称な物体の体積の求め方が使って計算することが出来る。
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$\displaystyle \int d \boldsymbol P \, \theta( k_F - | \boldsymbol P + \boldsymbol Q | ) \theta( k_F - | \boldsymbol P - \boldsymbol Q | ) \\ \displaystyle \qquad =2 \int^{k_F}_Q dz \, \pi ( k_F^2 - z^2 ) \\ \displaystyle \qquad = \left( \frac{ 4 \pi }{ 3 } k_F^3 - 2 \pi \left( k_F^2 Q - \frac{ 1 }{ 3 } Q^3 \right) \right) \theta( k_F - Q ) \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 4 \pi }{ 3 } k_F^3 \left( 1 - \frac{ 3 }{ 2 } \frac{ Q }{ k_F } + \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ Q^3 }{ k_F^3 } \right) \theta( k_F - Q ) \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 4 \pi }{ 3 } k_F^3 \left( 1 - \frac{ 3 }{ 2 } x + \frac{ 1 }{ 2 } x^3 \right) \theta( 1 - x ) \quad ( x = Q/k_F )$

したがって、
$\displaystyle 2 \int d \boldsymbol P \, d\boldsymbol Q \, \frac{ 1 }{ 4 Q^2 } \theta( k_F - | \boldsymbol P + \boldsymbol Q | ) \theta( k_F - | \boldsymbol P - \boldsymbol Q | ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \int d\boldsymbol Q \, \frac{ 1 }{ 4 Q^2 } \frac{ 4 \pi }{ 3 } k_F^3 \left( 1 - \frac{ 3 }{ 2 } x + \frac{ 1 }{ 2 } x^3 \right) \theta( 1 - x ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \cdot 4 \pi \int^{k_F}_0 d Q \, 4Q^2 \frac{ 1 }{ 4 Q^2 } \frac{ 4 \pi }{ 3 } k_F^3 \left( 1 - \frac{ 3 }{ 2 } x + \frac{ 1 }{ 2 } x^3 \right) \\ \displaystyle \qquad = 2 \frac{ ( 4 \pi )^2 }{ 3 } k_F^3 \int^{k_F}_0 d Q \, \left( 1 - \frac{ 3 }{ 2 } x + \frac{ 1 }{ 2 } x^3 \right) \\ \displaystyle \qquad = 2 \frac{ ( 4 \pi )^2 }{ 3 } k_F^4 \int^1_0 d x \, \left( 1 - \frac{ 3 }{ 2 } x + \frac{ 1 }{ 2 } x^3 \right) \\ \displaystyle \qquad = 2 \frac{ ( 4 \pi )^2 }{ 3 } k_F^4 \left( 1 - \frac{ 3 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } \right) \\ \displaystyle \qquad = 2 \frac{ ( 4 \pi )^2 }{ 3 } k_F^4 \frac{ 3 }{ 8 } \\ \displaystyle \qquad = ( 2 \pi )^2 k_F^4$
注意として、
$\displaystyle \int d \boldsymbol q = \int dq \, q^2 \int du \int d\phi = 2 \int dQ \, 4Q^2 \int du \int d\phi = 2 \int d \boldsymbol Q$
である。

Fermi波数 $k_F$ は、次のように変形させることが出来る。
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$\displaystyle k_F^4 = k_F^3 k_F = \left( 3 \pi^2 \frac{ N }{ \Omega } \right) \left( \frac{ 9 \pi }{ 4 } \right)^{1/3} \frac{ 1 }{ r_0 }$

よって、
$\displaystyle E^{(1)} = - \frac{ 4\pi e^2 }{ \Omega } \left[ \left( \frac{ \Omega }{ ( 2 \pi )^3 } \right) \right]^2 ( 2 \pi )^2 k_F^4 \\ \displaystyle \qquad = - \frac{ 4\pi e^2 }{ \Omega } \left[ \left( \frac{ \Omega }{ ( 2 \pi )^3 } \right) \right]^2 ( 2 \pi )^2 \left( 3 \pi^2 \frac{ N }{ \Omega } \right) \left( \frac{ 9 \pi }{ 4 } \right)^{1/3} \frac{ 1 }{ r_0 } \\ \displaystyle \qquad = - \frac{ e^2 }{ 2 a_0 } N \frac{ 3 }{ 2 \pi r_s } \left( \frac{ 9 \pi }{ 4 } \right)^{1/3} \\ \displaystyle \qquad \approx - \frac{ e^2 }{ 2 a_0 } N \frac{ 0.916 }{ r_s }$
$\frac{ e^2 }{ 2 a_0 }$ で括ったのは、これが 1 Rydberg に対応し、Rydberg原子単位系で 1 として扱えるためである。

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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

電子ガス模型における電子間相互作用の一次摂動。