CoulombポテンシャルのFourier変換（収束因子経由）

以前に、CoulombポテンシャルのFourier変換を、Poisson方程式を経由することで求めた。
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今回は収束因子 $\eta$ を導入することによって求める。
$|\boldsymbol x | = r$ と定義すると、
$\displaystyle \int d \boldsymbol x \left( \frac{ 1 }{ r } \right) e^{ - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol x } = \lim_{ \eta \rightarrow 0+ } \int d \boldsymbol x \left( \frac{ 1 }{ r } \right) e^{ - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol x } e^{ - \eta r }$

この積分を評価する。 $|\boldsymbol k | = q$ と定義し、 $u = \cos\theta$ と置くと、
$\displaystyle \boldsymbol k \cdot \boldsymbol x = q r \cos\theta = q r u \\ \displaystyle \int d \boldsymbol x \left( \frac{ 1 }{ r } \right) e^{ - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol x } e^{ - \eta r } \\ \displaystyle \qquad = \int^\infty_0 dr \, r^2 \left( \frac{ 1 }{ r } \right) e^{ - \eta r } \, \int^1_{-1} du \, e^{ - i q r u } \, \int^{2\pi}_0 d \phi \\ \displaystyle \qquad = 2\pi \int^\infty_0 dr \, r e^{ - \eta r } \, \frac{ e^{ i q r } - e^{ - i q r } }{ i q r } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 2\pi }{ i q } \int^\infty_0 dr \, \left( e^{ ( i q - \eta ) r } - e^{ ( - i q - \eta ) r } \right) \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 2\pi }{ i q } \left( \frac{ -1 }{ i q - \eta } - \frac{ -1 }{ - i q - \eta } \right) \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 2\pi }{ i q } \frac{ 2 i q }{ q^2 + \eta^2 } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 4 \pi }{ q^2 + \eta^2 }$