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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

調和振動における滞在時間からの分布関数の導出。

数学 力学

古典的な調和振動は以下のように表される。
\displaystyle x(t) = x_0 \cos( \omega t ) \\ \displaystyle t( x ) = \frac{ 1 }{ \omega } \cos^{-1}\left( \frac{ x }{ x_0 } \right)

周期 T = 2\pi / \omegaを用いて、この振動の（位置）期待値を取ると、
\displaystyle \langle x \rangle = \frac{ \int^T_0 dt\, x(t) }{ \int^T_0 dt } = \frac{ 1 }{ T }\left[ \frac{ x_0 }{ \omega } \sin( \omega t ) \right]^T_0 = 0
つまり、原点に多く存在している「ように」見える。

次に、標準偏差を取ると、
\displaystyle \sqrt{ \langle x^2 \rangle } = \sqrt{ \frac{ \int^T_0 dt\, x^2(t) }{ \int^T_0 dt } } = \sqrt{ \frac{ x_0^2 }{ T } \int^T_0 dt\, \left( \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ \cos( 2 \omega t ) }{ 2 } \right) } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ x_0 }{ \sqrt{ 2 } } \approx 0.70 x_0
となり、「少なくとも」常に原点にいるわけではないことがわかる。

一方、原点からの距離 r = \sqrt{ x^2 } = |x| の期待値は、
\displaystyle \langle r \rangle = \langle \sqrt{ x^2 } \rangle = \langle | x | \rangle \\ \displaystyle \qquad = \frac{ \int^{T/4}_0 dt\, x(t) + \int^{3T/4}_{T/4} dt\, (- x(t) ) + \int^{T}_{3T/4} dt\, x(t) }{ \int^T_0 dt } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ x_0 }{ \omega T } \left\{ \left[ \sin( \omega t ) \right]^{T/4}_0 - \left[ \sin( \omega t ) \right]^{3T/4}_{T/4} + \left[ \sin( \omega t ) \right]^{T}_{3T/4} \right\} \\ \displaystyle \qquad = \frac{ x_0 }{ \omega T } 4 = \frac{ 2 }{ \pi } x_0 \approx 0.63 x_0
となり、やはり原点に質点がいることが多いわけではないことがわかる。

この「いることが多い」という分布関数的な表現を、「滞在時間が長い」という風に解釈し直すと、 [ x, x + dx ] の区間に質点が滞在する時間は、
\displaystyle \Delta t = \left| \frac{ dt }{ d x } dx \right|= \left| \left( \frac{ 1 }{ d x / d t } \right) dx \right| = \frac{ dx }{ | v( t ) | } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ dx }{ x_0 \omega \sin( \omega t ) } = \frac{ dx }{ x_0 \omega \sqrt{ 1 - \cos^2( \omega t ) } } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ dx }{ x_0 \omega \sqrt{ 1 - (x/x_0)^2 } } = \frac{ dx }{ \omega \sqrt{ x_0^2 - x^2 } }
x = x_0 で明らかに発散してしまうが、振動範囲内の積分値 \int dx\, \Delta tは有限である。
\displaystyle \int^{x_0}_{-x_0} \frac{ dx }{ \omega \sqrt{ x_0^2 - x^2 } } = \int^{x_0}_{-x_0} \frac{ dx }{ x_0 \omega \sqrt{ 1 - ( x / x_0 )^2 } } \\ \displaystyle \qquad = \int^{1}_{-1} \frac{ du }{ \omega \sqrt{ 1 - u^2 } } = \int^{\pi}_{0} \frac{ \sin\theta d\theta }{ \omega \sqrt{ 1 - \cos^2\theta } } \\ \displaystyle \qquad = \int^{\pi}_{0} \frac{ d\theta }{ \omega } = \frac{ \pi }{ \omega } = T / 2
これの2倍が一周分であり、それは周期 Tに一致している。
したがって、分布関数的なものとして p(x)が定義出来る。
\displaystyle p(x) = \frac{1}{T} \frac{ 1 }{ \omega \sqrt{ x_0^2 - x^2 } } = \frac{\omega}{2\pi} \frac{ 1 }{ \omega \sqrt{ x_0^2 - x^2 } } = \frac{ 1 }{ 2 \pi \sqrt{ x_0^2 - x^2 } } \\ \displaystyle 2 \int^{x_0}_{-x_0} dx\, p(x) = 1
振動の行きと帰りで運動は同じなので、半周期で規格化した P(x) = 2 p(x)を定義すると便利である。
\displaystyle \int^{x_0}_{-x_0} P(x) = 1

この分布関数を用いて、平均、標準偏差および距離の期待値を求めてみる。
まずは平均だが、P(-x) = P(x)であるため、期待値はすぐにゼロとなり、前に求めものと一致する。
\displaystyle \langle x \rangle = \int^{x_0}_{-x_0} dx \, x P(x) = 0

次に標準偏差を求めると、
\displaystyle \langle x^2 \rangle = \int^{x_0}_{-x_0} dx \, x^2 P(x) = \frac{ 1 }{ \pi } \int^{x_0}_{-x_0} \frac{ x_0^2 (x / x_0 )^2 dx }{ x_0 \sqrt{ 1 - ( x / x_0 )^2 } } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ x_0^2 }{ \pi } \int^{1}_{-1} \frac{ u^2 du }{ \sqrt{ 1 - u^2 } } = \frac{ x_0^2 }{ \pi } \int^{\pi}_{0} \frac{ \cos^2\theta \sin\theta d\theta }{ \sqrt{ 1 - \cos^2\theta } } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ x_0^2 }{ \pi } \int^{\pi}_{0} d\theta \, \cos^2\theta = \frac{ x_0^2 }{ \pi } \frac{ \pi }{ 2 } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ x_0^2 }{ 2 } \\ \displaystyle \therefore \sqrt{ \langle x^2 \rangle } = \frac{ x_0 }{ \sqrt{ 2 } }
となり、前に求めたものと一致する。

最後に原点からの距離の期待値を求めると、
\displaystyle \langle r \rangle = \langle |x| \rangle = \langle \sqrt{ x^2 } \rangle \\ \displaystyle \qquad = 2 \int^{x_0}_{0} dx \, x P(x) = \frac{ 2 x_0 }{ \pi } \int^{\pi/2}_{0} d\theta \, \cos\theta = \frac{ 2 x_0 }{ \pi } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ 2 }{ \pi } x_0
よって、これも前の結果と一致している。

分布関数は「その位置に質点がいる確率（密度）」を表していて、それが滞在時間と綺麗に対応するのは直感に合っていて、とても気持ち良い。