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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

三準位系における間接相互作用

数学 量子力学

三準位系で、1と3は相互作用しないが、それぞれ2と相互作用しているときの1と3の関係について知りたい。

解きたい行列式。
\displaystyle \begin{vmatrix} \varepsilon_1 - \varepsilon & v_{12} & 0 \\ v_{12}^* & \varepsilon_2 - \varepsilon & v_{23} \\ 0 & v_{23}^* & \varepsilon_3 - \varepsilon \end{vmatrix} \\ \displaystyle \quad = ( \varepsilon_1 - \varepsilon )( \varepsilon_2 - \varepsilon )( \varepsilon_3 - \varepsilon ) - |v_{12}|^2(\varepsilon_3 - \varepsilon) - |v_{23}|^2(\varepsilon_1 - \varepsilon) = 0 \\ \displaystyle ( \varepsilon_1 - \varepsilon )( \varepsilon_2 - \varepsilon )( \varepsilon_3 - \varepsilon ) \\ \displaystyle \quad = - ( \varepsilon^3 - ( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 ) \varepsilon^2 + ( \varepsilon_1 \varepsilon_2 + \varepsilon_2 \varepsilon_3 + \varepsilon_3 \varepsilon_1 ) \varepsilon - \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_3 )

簡単のため、 \varepsilon_2 = 0
\displaystyle ( \varepsilon_1 - \varepsilon )( - \varepsilon )( \varepsilon_3 - \varepsilon ) - |v_{12}|^2(\varepsilon_3 - \varepsilon) - |v_{23}|^2(\varepsilon_1 - \varepsilon) \\ \displaystyle \quad = - ( \varepsilon^3 - ( \varepsilon_1 + \varepsilon_3 ) \varepsilon^2 + \varepsilon_3 \varepsilon_1 \varepsilon + |v_{12}|^2(\varepsilon_3 - \varepsilon) + |v_{23}|^2(\varepsilon_1 - \varepsilon) ) \\ \displaystyle \quad = - ( \varepsilon^3 - ( \varepsilon_1 + \varepsilon_3 ) \varepsilon^2 + ( \varepsilon_3 \varepsilon_1 - |v_{12}|^2 - |v_{23}|^2 ) \varepsilon + |v_{12}|^2 \varepsilon_3+ |v_{23}|^2 \varepsilon_1 )

更に簡単のため、 \varepsilon_1 = - \varepsilon_3 = - \varepsilon_0。
\displaystyle \begin{vmatrix} - \varepsilon_0 - \varepsilon & v_{12} & 0 \\ v_{12}^* & - \varepsilon & v_{23} \\ 0 & v_{23}^* & \varepsilon_0 - \varepsilon \end{vmatrix} \\ \displaystyle \quad = - ( \varepsilon^3 - ( \varepsilon_0^2 + |v_{12}|^2 + |v_{23}|^2 ) \varepsilon + \varepsilon_0( |v_{12}|^2 - |v_{23}|^2 ) ) = 0 \\ \displaystyle \therefore \varepsilon^3 - ( \varepsilon_0^2 + |v_{12}|^2 + |v_{23}|^2 ) \varepsilon + \varepsilon_0( |v_{12}|^2 - |v_{23}|^2 ) = 0

|v_{12}| = |v_{23}| \equiv vのとき、
\displaystyle \varepsilon^3 - ( \varepsilon_0^2 + 2|v|^2 ) \varepsilon = 0 \\ \displaystyle \varepsilon (\varepsilon - \sqrt{ \varepsilon_0^2 + 2|v|^2 } ) (\varepsilon + \sqrt{ \varepsilon_0^2 + 2|v|^2 } ) = 0
となり、中心の \varepsilon_2 = 0は動かない。
二準位だけ考えた場合の分裂幅は、
\displaystyle \Delta \varepsilon = \sqrt{ \varepsilon_0^2 + 4 |v|^2 }
であることから、三準位で両端から押すと分裂幅は小さくなることが分かった。