時間順序演算子を用いた時間発展演算子の表現。

時間発展演算子は、一般のハミルトニアンに対して次のように表される。
$\displaystyle \lambda \equiv -\frac{ i }{ \hbar } \\ \displaystyle U( t_0, t_0 ) = 1 \\ \displaystyle U( t, t_0 ) = 1 + \lambda \int^t_{t_0} dt' \, H'( t ' ) U( t', t_0 ) \\ \displaystyle \qquad = 1 + \lambda \int^t_{t_0} dt' \, H'( t ' ) + \lambda^2 \int^t_{t_0} dt' \int^{t'}_{t_0} dt'' \, H'( t ' ) H'( t '' ) + \cdots$

$\displaystyle \int^t_{t_0} dt' \int^{t'}_{t_0} dt'' \, H'( t ' ) H'( t '' ) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} dt' \int^{t'}_{t_0} dt'' \, H'( t ' ) H'( t '' ) + \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} dt' \int^{t'}_{t_0} dt'' \, H'( t ' ) H'( t '' )$

注意として、 $H'$ の順番は勝手に変えてはいけない。
$\displaystyle [ H'( t_1 ), H'( t_2 ) ] \\ \displaystyle \qquad = [ U^\dagger( t_1, t_0 ) H' U( t_1, t_0 ), U^\dagger( t_2, t_0 ) H' U( t_2, t_0 ) ] \\ \displaystyle \qquad = U^\dagger( t_1, t_0 ) H' U( t_1, t_2 ) H' U( t_2, t_0 ) - U^\dagger( t_2, t_0 ) H' U^\dagger( t_1, t_2 ) H' U( t_1, t_0 ) \\ \displaystyle \qquad \neq 0 \quad ( t_1 \neq t_2 )$

順番を変えて良いのは、同じ時刻の時にのみ限る。
$\displaystyle [ H'( t ), H'( t ) ] \\ \displaystyle \qquad = U^\dagger( t, t_0 ) H' H' U( t, t_0 ) - U^\dagger( t, t_0 ) H' H' U( t, t_0 ) \\ \displaystyle \qquad = 0$

二番目の積分を変形していくが、以下の積分は変数変換をするわけではなく、厳密に同じ積分を表す。
$\displaystyle \int^t_{t_0} dt' \int^{t'}_{t_0} dt'' = \int^t_{t_0} dt'' \int^{t}_{t''} dt' = \frac{1}{2}(t-t_0)^2$
補足すると、 $t', t''$ が動く最終的な範囲は両者で等しく、また積分結果も一致するため、同じ積分と言える。

したがって、
$\displaystyle \int^t_{t_0} dt' \int^{t'}_{t_0} dt'' \, H'( t ' ) H'( t '' ) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} dt' \int^{t'}_{t_0} dt'' \, H'( t ' ) H'( t '' ) + \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} dt’' \int^{t}_{t''} dt' \, H'( t ' ) H'( t '' ) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} dt' \int^{t'}_{t_0} dt'' \, H'( t' ) H'( t'' ) + \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} dt' \int^{t}_{t'} dt'' \, H'( t'' ) H'( t' ) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} \int^{t'}_{t_0} dt' \, dt'' \, \left( \theta( t' - t'' ) H'( t' ) H'( t'' ) + \theta( t'' - t' ) H'( t'' ) H'( t' ) \right) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} \int^{t'}_{t_0} dt' \, dt'' \, T\left[ H'( t' ) H'( t'' ) \right] \\ \displaystyle \qquad = T\left[ \frac{1}{ 2 } \int^t_{t_0} \int^{t'}_{t_0} dt' \, dt'' \, H'( t' ) H'( t'' ) \right]$

今の二次の場合には、時間変数が二個であり、どちらの時間が速いかで分割した結果 $1/2$ が掛かかっている。
これを一般化すると、n次で時間変数が $n$ 個ある場合、時間を速い順に並べる並べ方は、単純に順列として扱えるため、 $n!$ 個ある。
したがって、

$\displaystyle U( t, t_0 ) = T\left[\sum^\infty_{n=0} \frac{ \lambda^n }{ n! } \int^t_{t_0} \prod^n_{i=1} d t_i \, H'( t_1 ) \right] \\ \displaystyle \qquad = T\left[\sum^\infty_{n=0} \frac{ 1 }{ n! } \left( \lambda \int^t_{t_0} d t' \, H'( t' ) \right)^n \right] \\ \displaystyle \qquad = T \exp\left( \lambda \int^t_{t_0} d t' \, H'( t' ) \right)$

というように非常に簡潔に書ける。

参考文献：Fetter-Walecka

nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

時間順序演算子を用いた時間発展演算子の表現。