nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

オンサイトクーロンの波数表示。

ハバードモデルにあるオンサイトクーロン項の波数表示

\displaystyle
U \sum_i n_{i,\uparrow} n_{i,\downarrow}
= \frac{U}{N} \left( \prod^4_{j=1} \sum_{k_j} \right) 
    a^\dagger_{k_1,\uparrow} a^\dagger_{k_2,\downarrow}  a_{k_3,\downarrow} a_{k_4,\uparrow} 
    \delta_{ k_1 + k_2, k_3 + k_4 }
を証明する。

証明には、以下の関係式が必要である。

\displaystyle
a_i = \frac{ 1 }{ \sqrt{N} } \sum_k a_k e^{ i k \cdot R_i }
\qquad
\left( a_k = \frac{ 1 }{ \sqrt{N} } \sum_i a_i e^{ - i k \cdot R_i } \right)
\\
\displaystyle
\sum_i e^{ i k \cdot R_i } = N \delta_{ k, 0 }

これらは以下の記事で扱ったことがある。
koideforest.hatenadiary.com
koideforest.hatenadiary.com

よって、

\displaystyle
\sum_i n_{i,\uparrow} n_{i,\downarrow}
\\
\displaystyle
\qquad
= \sum_i a^\dagger_{i,\uparrow} a_{i,\uparrow} a^\dagger_{i,\downarrow} a_{i,\downarrow}
\\
\displaystyle
\qquad
= \frac{1}{N^2} \sum_i \left( \prod^4_{j=1} \sum_{k_j} \right) 
    a^\dagger_{k_1,\uparrow} a_{k_2,\uparrow} a^\dagger_{k_3,\downarrow} a_{k_4,\downarrow} 
    e^{ i ( - k_1 + k_2 - k_3 + k_4 ) \cdot R_i }
\\
\displaystyle
\qquad
= \frac{1}{N} \left( \prod^4_{j=1} \sum_{k_j} \right) 
    a^\dagger_{k_1,\uparrow} a_{k_2,\uparrow} a^\dagger_{k_3,\downarrow} a_{k_4,\downarrow} 
    \delta_{ k_1 + k_3, k_2 + k_4 }
\\
\displaystyle
\qquad
= \frac{1}{N} \left( \prod^4_{j=1} \sum_{k_j} \right) 
    a^\dagger_{k_1,\uparrow} a^\dagger_{k_3,\downarrow}  a_{k_4,\downarrow} a_{k_2,\uparrow} 
    \delta_{ k_1 + k_3, k_2 + k_4 }
\\
\displaystyle
\qquad
= \frac{1}{N} \left( \prod^4_{j=1} \sum_{k_j} \right) 
    a^\dagger_{k_1,\uparrow} a^\dagger_{k_2,\downarrow}  a_{k_3,\downarrow} a_{k_4,\uparrow} 
    \delta_{ k_1 + k_2, k_3 + k_4 }