二体演算子の第二量子化

二体演算子 $v$ は、（Fermion）粒子のペアが重要であり、順列には依らない。
$\displaystyle v_{i,j} = v_{j,i}$

N粒子系に作用する二体演算子 $V_N$ は、 $v$ の全ての粒子ペアを取ったもので表せる。
$\displaystyle V_N = \sum_{i < j}^N v_{i,j} = \frac{1}{2}\left( \sum_{i < j}^N v_{i,j} + \sum_{i < j}^N v_{j,i} \right) = \frac{1}{2}\left( \sum_{i < j}^N v_{i,j} + \sum_{j < i}^N v_{i,j} \right) = \frac{1}{2} \sum_{ i \neq j }^N v_{i,j}$

$v$ の位置表示について対角的だとすると、
$\displaystyle v_{i,j} | \vec r_1 ; i \rangle | \vec r_2 ; j \rangle = v( \vec r_1, \vec r_2 ) | \vec r_1 ; i \rangle | \vec r_2 ; j \rangle \\ \displaystyle \qquad = v_{j,i} | \vec r_1 ; i \rangle | \vec r_2 ; j \rangle = v( \vec r_2, \vec r_1 ) | \vec r_1 ; i \rangle | \vec r_2 ; j \rangle$

N粒子系のSlater行列式は、
$\displaystyle \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{P} \prod_{k=1}^N (-1)^P | \vec r_k ; P(k) \rangle$
したがって、
$\displaystyle V_N \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} v( \vec r_i, \vec r_j ) \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$
最初は粒子のペアだったのが、位置座標のペアに代わっていることに注意。

ここから、第二量子化へと進んでいく。

Slater行列式と以下の（第二量子化）表現が等価になるように場の演算子 $\hat \psi$ が定義されているとする。
$\displaystyle \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \equiv \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle$

このときに、以下の関係を満たすように $V_N$ を第二量子化した $\hat V$ を探すことが目標である。
$\displaystyle \hat V \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle = V_N \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$

そして、天下り的であるが、 $\hat V$ は（位置表示：場の演算子において）以下のように表される。
$\displaystyle \hat V = \frac{1}{2} \int d\vec x d\vec y \, \hat \psi^\dagger( \vec x ) \hat \psi^\dagger( \vec y ) \, v( \vec x, \vec y ) \, \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x )$
ここから、 $\hat V$ が正しく $V_N$ と繋がるかどうかを確認する。

まず、場の消滅演算子を $\left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$ に作用させると、
$\displaystyle \hat \psi( \vec x ) \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \hat \psi( \vec x ) \, \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle$
$\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \}$ は $\hat \psi^\dagger( \vec r_{i} )$ が抜けている（消滅している）ことを表す。

同様にして、
$\displaystyle \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x ) \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \hat \psi( \vec y ) \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \sum_{ j (< i ) } (-1)^{j-1} \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{j} ) \right\} \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad + \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \sum_{ j (> i ) } (-1)^{j-2} \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{j} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle$

一方で、ここから場の生成演算子を作用させていくと、
$\displaystyle \hat \psi^\dagger( \vec y ) \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x ) \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \sum_{ j (< i ) } (-1)^{j-1} \hat \psi^\dagger( \vec r_j ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{j} ) \right\} \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad + \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \sum_{ j (> i ) } (-1)^{j-2} \hat \psi^\dagger( \vec r_j ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{j} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \left( \sum_{ j (< i ) } + \sum_{ j ( > i ) } \right) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i \neq j}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle$
$\displaystyle \hat \psi^\dagger( \vec x ) \hat \psi^\dagger( \vec y ) \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x ) \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i \neq j}^N (-1)^{i-1} \hat \psi^\dagger( \vec r_i ) \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i \neq j}^N \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i \neq j}^N \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$
場の演算子の掛ける順番に注意。これは $\hat V$ の積分の中身に対応させてある。
和は、位置番号に対応しているが、場の演算子の表現にした時点で、位置番号と粒子番号が同等として扱われている。

したがって、
$\displaystyle \hat V \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j }^N \int d\vec x d\vec y \, v( \vec x, \vec y ) \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j }^N v( \vec r_i, \vec r_j ) \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = V_N \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$
場の演算子による表現が、Slater行列式による表現と一致することが示せた。

ここから、 $\hat V$ を他の生成消滅演算子で書くと、
$\displaystyle \hat V = \int d\vec x d\vec y \, \hat \psi^\dagger( \vec x ) \hat \psi^\dagger( \vec y ) \, v( \vec x, \vec y ) \, \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x ) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} \left( \int d\vec x d\vec y \, \psi_\alpha^*( \vec x ) \psi^*_\beta( \vec y ) \, v( \vec x, \vec y ) \, \psi_{\beta'}( \vec y ) \psi_{\alpha'}( \vec x ) \right) c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'} \\ \displaystyle \qquad \equiv \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} v_{\alpha \beta, \alpha' \beta'} \, c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'}$
もし、 $\alpha', \beta'$ の和が同じ空間内を動くなら、
$\displaystyle \hat V = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} v_{\alpha \beta, \alpha' \beta'} \, \left( \frac{1}{2} c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'} + \frac{1}{2} c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'} \right) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} v_{\alpha \beta, \alpha' \beta'} \, \left( \frac{1}{2} c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'} - \frac{1}{2} c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\alpha'} c_{\beta'} \right) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{4} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} \left( v_{\alpha \beta, \alpha' \beta'} - v_{\alpha \beta, \beta' \alpha'} \right) \, c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'}$

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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

二体演算子の第二量子化