Hohenberg-Kohnの第一定理は以下の様なものである。
「外場と基底状態電子密度は一対一対応する。」
これは、背理法で証明されることがほとんどだろう。
しかし、背理法そのものについて学ぶことは、あまりない気がしたので、ここでまとめる。
「命題」を、「真(True: T)か偽(False: F)のどちらかに定まる文」と定義する。
命題の間になんらかの結合規則を用いることで、新しく命題を作ることが出来る。
例えば、は「が共にFでない限りT」とする結合規則であり、一方では「が共にTでない限りF」とする規則である。
集合で考えると、は集合和で、は共通部分である。
また、が、全く同じ真偽値を取るとき、と書き、「同値である」と言う。
更に、はの「否定」であり、真偽をひっくり返したものに対応する。集合では補集合がそれに当たる。
ここから、重要な結合規則として、を考える。これは「含意」と呼ばれ、集合論ではに対応する。
言葉ではよく、「ならば」と表現され、集合との対応も良い(Pの中に入っていればQも同時に満たす:十分条件)のだが、一方で真偽表現ではクセがある。
含意の同値表現は、である。ここで躓き易いのは、「がFならば問答無用ではT」である点である。
「ならば」と言うとき、無意識のうちに「 T」という仮定をしている。もっと言えば、「 F」のときには興味が無いのである。
そのため、「 TのときにがTなのかFなのか」ということに集中するため、「(F T」となるように定義しているわけである。
集合的にも、がTであれば、は全ての範囲を覆いつくしているのでTと言える。
それで、やっと背理法であるが、
「」、つまり、証明したい命題の否定に対して、「何かしらの命題」に対する矛盾が示せれば、がTであると言える。
このは、自分で設定する必要があるため自由度が高く、背理法での証明がよくわからない一つの要因だと思われる。
以下、背理法が正しいことを示す証明である。(三段論法と対偶は断り無しに使った。)
これを元に、Hohenberg-Kohnの(第一)定理を考えれば、「外場と基底状態電子密度は一対一対応しない。」というのがであり、は自分で設定する必要がある。
実際の証明では、「そもそも一対一対応とは何か?(式でどう表すか?)」から考える必要があるが、最終的には「基底状態のエネルギーが満たすべき性質」をとして矛盾を導く。
背理法の証明で、「これはどこから出て来た?」と思うことが多かったが、その理由が背理法の高い自由度に因っていたことがわかった。