ステップ関数等で不連続に打ち切られた関数をフーリエ変換しようとすると、どんなに頑張っても振動が残る。 これはギブス現象として知られている。 ギブズ現象 - Wikipediaでは、ステップ関数の代わりに誤差関数で滑らかにしたら、どれくらい収束が良いのか…

ベクトルの割算ってなんだ？って思った時に、複素数の割算を考えてみた。虚数は行列に直すことが出来るので、 これはベクトルの変換行列を求めたことに対応する。 と定義すれば、回転行列をでスケールした変換行列になることがわかる。ここまで、幾何学的な…

前回、Green関数を使って古典単振動の軌跡を求めた。 koideforest.hatenadiary.com今回は、無限級数の別表現として、行列を使ってみる。 行列は、Green関数を用いて次のように定義出来る。 この行列を用いて、前回の式を書き直すと、 だから、 ここで、Green…

前回、Green関数を使って古典力学の基礎問題を解いた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.com今回は古典単振動の軌跡をGreen関数を使って求める。 自由落下の時は、非斉次項が定数だったが、単振動では求めたい関数自身が含まれているた…

二階微分だけの演算子に対するGreen関数を求めた。 koideforest.hatenadiary.com求めたと言っても、斉次解が含まれていないので、Green関数の一般解にはなっていない。 斉次解を含めると、ここで、自由落下の問題を考える。 この時、Green関数を用いると、 …

前回、単振動方程式におけるGreen関数を導出した。 koideforest.hatenadiary.com二階微分だけとなると と置き換えることに対応するのは明らかである。 実は、ここから直接求めようとすると、二位の極をまともに扱わないといけないので、死にかけた（というか…

一次元の単振動の微分方程式に対するGreen関数を求めてみる。 したがって、計算するべき積分は、 時間が正か負かで積分経路が変わるので、以下場合分けで考える。 フーリエ積分を複素平面に拡張すれば、 今、実軸上の極を全て避けるように積分経路を取ったの…

この時、以下の関係を満たし、三角関数の枠内に収まる。 振動を扱っていると、よく見かける変形である。例えば、次のような同じ周期の三角関数の合成を考えると、 よって合成後に位相がずれるだけで済む。位相のズレの大きさは、 で求まり、 のとき であるか…

円周率が4である動画が話題になった。 「円周率＝４」を証明してみせましょう。“3.14…”を覆す新理論（？）に驚愕する声多数！ 理数系学生「反論思いつかなくて草」 これと似たようなことを自分でもやってみた。アイデアは「波数が無限に大きく、かつ振幅が無…

ペンローズタイリングとは、ペンローズが開発した非周期的な図形の敷き詰め方である。 以下のサイトで、ペンローズタイリングの方法と、そのpythonスクリプトが公開されている。 Penrose Tiling Explained図の描画には、pycairoが使われていて、事前にインス…

回転運動の説明を読んでいる時に、角度が小さい時の差ベクトルの近似について気になったので考えて見た。 等速円運動 [物理のかぎしっぽ]以下の図のような二等辺三角形における底辺（青）、円弧（赤）、そして垂線（緑）を考える。 図では頂角は30度でプロッ…

sympyの練習を兼ねて、平面に対するGreenの定理で、問題を解いてみる。 平面のグリーンの定理 [物理のかぎしっぽ]以下の積分を求めてみる。 原点で最大値を取り、等方向的で、境界でゼロを持つような、何かしらの密度を積分する、と思えば解りやすいだろうか…

前回、フーリエ変換の視点で自由Green関数を弄った。 koideforest.hatenadiary.com今回は、もっと一般的（？）にハミルトニアンの固有関数で展開することを考える。 したがって、Green関数の位置表示は、 自由電子の時には、運動エネルギーの固有状態表示で…

パッと探したところ と出来る理由が見当たらなかったので、真面目に計算してみた。 （もちろん、ハミルトニアンの並進対称性から明らかなのはわかっているが、真面目な方法でやって同じ答えになるはずである）Diracのbraket表示を使って、演算子の方程式から…

※訂正: マイナスの境界条件で内向き波になるように訂正(2019/03/08)Hartree原子単位系以下、これを証明する。フーリエ変換を使って、微分方程式を解く。 平面波の角運動量展開 パリティ対称性 より、被積分関数はに対して偶関数。よって、 球ベッセル関数は…

平均 揺らぎ 分散（標準偏差の二乗 or 揺らぎの二乗の平均） 統計学における分散と不偏分散 例題でわかりやすく解説 | 全人類がわかる統計学 標準偏差 標準偏差 | 統計用語集 | 統計WEB 不偏分散（アンサンブル平均ではない平均で取る） 統計学における分散…

以前に相関関数をいろいろまとめた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comしかし気になったのは、「今のコヒーレンスの定義では 1 にしかならないのではないか？」という点である。広島大の講義ノートにク…

以前の記事で、相関関数、及びそのガウス関数の時の振舞について調べた。 koideforest.hatenadiary.com koideforest.hatenadiary.comここでは三角関数（）を使って相関関数の振舞を調べる。フーリエ変換の定義 三角関数（ ） 自己相関関数の定義 スペクトル…

以前の記事で相関関数をまとめた。 koideforest.hatenadiary.com ここではガウス関数を使って、振舞を調べる。フーリエ変換の定義 自己相関関数 ガウス関数 スペクトルと自己相関関数 で、がちゃんと求まっていることがわかる。 相互相関関数の定義 より一般…

ガウス関数はフーリエ変換しても、数式上は（幅は変わるが）またガウス関数になる。 高速フーリエ変換（FFT）とフーリエ変換との関係を以前まとめたため、FFTを用いてガウス関数をフーリエ変換する。 koideforest.hatenadiary.comここではscipy.fftpackを用…

高速フーリエ変換（FFT）は結局は離散フーリエ変換であり、どちらかというとフーリエ級数展開に近い。 高速フーリエ変換 - WikipediaFFTは結局は級数展開、つまり「和」なので、フーリエ変換、つまり「積分」にするためには、変換が必要である。 http://hook…

「相関とは内積の拡張のようなものである」という説明で納得した。 相関関数 [物理のかぎしっぽ]離散的な数直線上の点における関数値をベクトルと思えば、内積はと表せる。これがゼロのとき、関数は互いに直交していると言える。ここで、を連続量に置き換え…

多項式による正規方程式の導出を、こちらにサイトでお世話になった。 線形回帰の Normal Equation（正規方程式）について しかし、別に多項式じゃなくても何でも良いと思ったので、導出してみた。何かしらの入力に対する出力が個の組で得られているとする。 …

ベイズの定理のWikipediaで、応用例として薬物検査で陽性が出た時に本当に使用者でる確率が取り上げられている。ベイズの定理 ベイズの定理 - Wikipedia 全確率の定理 Law of total probability - Wikipedia 感度：薬物使用者のうち99%が陽性になる。 特異度…

たまたま見つけたやつ。 【オリジナル】「誕生日が同じだった運命のふたりの漫画。」漫画/山本アリフレッド [pixiv] 30人のクラスの中で、同じ誕生日のペアが出来る確率は7割だから、誕生日が同じなのは奇跡ではない、というもの。 これについて、「『私と』…

加法や乗法は、（それらの群の上では）結合の法則と交換の法則を満たす。減法や除法も加法群および乗法群に含まれてしまうため、何かこれらを満たさない別の簡単な例はないかなぁと思っていたら、パッと冪演算を思い付いた。 冪演算をで定義すると、少なくと…

数値計算で立体角積分をしたいとき、安直に二重積分するよりも、Lebedev求積法を使った方が効率が良い。 Lebedev quadrature - Wikipedia http://people.maths.ox.ac.uk/beentjes/Essays/QuadratureSphere.pdf効率が良いという意味は、メッシュ数が少なくて…

N粒子系における二体ポテンシャルを、粒子ペアに番号を付けて、その間の相互作用の和（）として定義する。二体ポテンシャルとしたが、結局は相互作用に何かしら番号が付けられて、全体がその和として与えらえるのであれば、いろんな応用が考えられる（と思う…

を原点から測った距離とし、原点から見て球対称な関数をとする。 原点から見て位置にあるサイトがあるとする。 サイトを原点に取り直した任意の位置ベクトルをと定義する。 やりたいことは、をサイトから見ると球対称ではないので、サイトから見たときの球対…

例えば球面調和関数これはある意味のエンタングルメントを断ったと言えるか？ 添字が一個なので、ベクトルに拡張すれば、よって、ある種の行列化によって変数分離が可能である。ポイントは、もともと行列ではなくただの数だったので、「左に横ベクトル・右に…