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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

単振動をT行列を使って解く。

力学 数学

前回、Green関数を使って古典単振動の軌跡を求めた。
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今回は、無限級数の別表現として、 T行列を使ってみる。
T行列は、Green関数を用いて次のように定義出来る。
\displaystyle \frac{ d^2 }{ d x^2 } x( t ) = f( t ) x( t ), \\ \displaystyle T( t, t' ) = f( t )\delta( t - t' ) + f( t ) G( t, t' ) f( t' ) \\ \displaystyle \quad + \int dt_1 \, f( t ) G( t, t_1 ) f( t_1 ) G( t_1, t' ) f( t' ) + \cdots

この T行列を用いて、前回の式を書き直すと、 f( t ) = -\omega^2 だから、
\displaystyle x( t ) = x_0( t ) + \int^\infty_0 dt' \, G( t - t' ) \left( - \omega^2 x_0( t' ) \right) \\ \displaystyle \quad + \int^\infty_0 dt' \int^\infty_0 dt'' \, G( t - t' ) \left( - \omega^2 \right) G( t' - t'' ) \left( - \omega^2 x_0( t'' ) \right) + \cdots \\ \displaystyle \quad = x_0( t ) + \int^\infty_0 dt' \int^\infty_0 dt'' \, G( t - t' ) T( t', t'') x_0( t'' ) \\ \displaystyle T( t', t'' ) = \left( - \omega^2 \right) \delta( t - t' ) + \left( - \omega^2 \right)^2 G( t, t' ) \\ \displaystyle \quad + \left( - \omega^2 \right)^3 \int dt_1 \, G( t, t_1 ) G( t_1, t' ) + \cdots

ここで、Green関数のインパルス応答としての役割を考えると、作用 L_t、外力 F( t ) に対して、
\displaystyle L_t x( t ) = F( t ), \quad L_t G( t - t' ) = \delta( t - t' ) \\ \displaystyle x( t ) = x_0( t ) + \int dt' \, G( t - t' ) F( t' )
と現わせることから、外力を T行列で表すと、
\displaystyle F( t' ) = \int dt'' \, T( t', t'' ) x_0( t'' )
外力を（意味わからんが）「（外力が無い時の）位置に対する応答」としてみなせそうな雰囲気を感じる。

そろそろ実際に T行列を求めてみる。
Green関数は前回と同様に、以下のものを使用する。
\displaystyle G( t - t' ) = ( t - t' ) \, \theta( t - t' )

したがって、
\displaystyle \int dt_1 \, G( t, t_1 ) G( t_1, t' ) = \theta( t - t' ) \int^t_{t'} dt_1 \, ( t - t_1 ) ( t_1 - t' ) \\ \displaystyle \quad = - \theta( t - t' ) \int^t_{t'} dt_1 \, ( t_1 - t ) ( t_1 - t' ) \\ \displaystyle \quad = - \theta( t - t' ) \int^t_{t'} dt_1 \, \left( ( t_1 - t )^2 + ( t_1 - t ) ( t - t' ) \right) \\ \displaystyle \quad = - \theta( t - t' ) \left( - \frac{ ( t' - t )^3 }{ 3 } + \frac{ ( t' - t )^3 }{ 2 } \right) \\ \displaystyle \quad = \theta( t - t' ) \frac{ ( t - t' )^3 }{ 3! }
\theta( t - t' ) は露わには含まれていないが、 \theta( t - t_1 ) \theta( t_1 - t' ) にこの条件が暗に含まれているため、明記化しておく。

以上をまとめると、
\displaystyle T( t', t'' ) = \left( - \omega^2 \right) \delta( t - t' ) + \left( - \omega^2 \right)^2 \theta( t - t' ) ( t - t' ) \\ \displaystyle \quad + \left( - \omega^2 \right)^3 \theta( t - t' ) \frac{ ( t - t' )^3 }{ 3! } + \cdots \\ \displaystyle \quad = - \omega^2 \left( \delta( t - t' ) - \omega \theta( t - t' ) \sum_{n=0} (-1)^n \frac{ \left( \omega ( t - t' ) \right)^{ 2n+1 } }{ ( 2n+1 )!! } \right) \\ \displaystyle \quad = - \omega^2 \left( \delta( t - t' ) - \omega \theta( t - t' ) \sin \left( \omega ( t - t' ) \right) \right)

前回の境界条件を引き続き採用すると、 x_0 = lであるから、
\displaystyle F( t' ) = l \int dt'' \, \left( - \omega^2 \left( \delta( t' - t'' ) - \omega \theta( t' - t'' ) \sin \left( \omega ( t' - t'' ) \right) \right) \right) \\ \displaystyle \quad = - l \omega^2 + l \omega^3 \int^{t'}_0 dt'' \, \sin \left( \omega ( t' - t'' ) \right) \\ \displaystyle \quad = - l \omega^2 \cos \left( \omega t' \right)

よって、強制振動が外力として加わっているとみなすことが出来る。

無限級数の T行列による置き換えは、以下のような関係を求めたのと同様であるから、この時点で方程式は解けていると言っても良い。
\displaystyle - \omega^2 x( t ) = \int dt' T( t, t' ) x_0( t' ) = - l \omega^2 \cos \left( \omega t' \right) \\ \displaystyle \therefore x( t ) = l \cos \left( \omega t \right)
よって、解が得られた。

もちろん、真面目にGreen関数との積を積分して求めても良い。
\displaystyle \frac{ x( t ) }{ l } = 1 - \omega^2 \int^\infty_0 dt' \, G( t - t' ) \cos \left( \omega t' \right) = 1 - \omega^2 \int^t_0 dt' \, ( t - t' ) \cos \left( \omega t' \right) \\ \displaystyle \quad = 1 - \omega t \sin \left( \omega t \right) + \left( \omega t \sin \left( \omega t \right) - \omega \int^t_0 dt' \, \sin \left( \omega t' \right) \right) \\ \displaystyle \quad = 1 + \left( \cos \left( \omega t \right) - 1 \right) = \cos \left( \omega t \right) \\ \displaystyle \therefore x( t ) = l \cos \left( \omega t \right)

計算量は多いが、統一的に扱えるのは理解の助けになると思われる。