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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

単振動を（非摂動）Green関数を使って解く。

力学 数学

前回、Green関数を使って古典力学の基礎問題を解いた。
koideforest.hatenadiary.com
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今回は古典単振動の軌跡をGreen関数を使って求める。
自由落下の時は、非斉次項が定数だったが、単振動では求めたい関数自身が含まれているため、固有値問題のような形になっている。
そのため、量子力学での摂動展開のような形式で解くため、Green関数のイメージを掴むのにとても良いと思う。

単振動の方程式は以下の通り。
\displaystyle \frac{ d^2 }{ d x^2 } x( t ) = - \omega^2 x( t ), \\ \displaystyle x( 0 ) = l, \, \dot{ x }( 0 ) = 0, \, t > 0 \quad \left( x( t ) = l \cos( \omega \, t ) \right)

答えが分かっているので、安心して問題を解き進められる。
Green関数は、境界条件から、自由落下の時と同様のものを使えば良いことがわかる。
\displaystyle G( t - t' ) = ( t - t' ) \, \theta( t - t' )

よって、形式的な解は、
\displaystyle x( t ) = x_0( t ) + \int^\infty_0 dt' \, G( t - t' ) \left( - \omega^2 x( t' ) \right) \\ \displaystyle x_0( t ) = a t + b

注目するべきは、解くべき x(t) が積分の中で再登場している点である。
量子力学で言えば、リップマン・シュウィンガー方程式と同様の形をしている。
これを解くために、 x(t') に右辺をまるごとそのまま再代入する。
\displaystyle x( t ) = x_0( t ) + \int^\infty_0 dt' \, G( t - t' ) \left( - \omega^2 x_0( t' ) \right) \\ \displaystyle \quad + \int^\infty_0 dt' \int^\infty_0 dt'' \, G( t - t' ) \left( - \omega^2 \right) G( t' - t'' ) \left( - \omega^2 x( t'' ) \right)
代入を繰り返すと、無限級数が得られる。

ここで、右辺第二項を計算してみると、
\displaystyle \int^\infty_0 dt' \, G( t - t' ) \left( - \omega^2 x_0( t' ) \right) = \left( - \omega^2 \right) \int^t_0 dt' \, ( t - t' ) \left( a t' + b \right) \\ \displaystyle = \left( - \omega^2 \right) \left( a \frac{ t^3 }{ 3! } + b \frac{ t^2 }{ 2! } \right)
よって、少なくとも tの二次以上になる。

境界条件は x( 0 ), \dot{ x }( 0 )で与えられるので、積分を含む項は t = 0で消えてしまい、 a, bの決定に寄与しないことがわかる。
これにより、 x_0に含まれる係数が求まり、 x_0は時間に依存しないことがわかる。
\displaystyle x( 0 ) = b = l, \, \dot{ x }( 0 ) = a = 0

これらの結果の整理すると、
\displaystyle \frac{ x( t ) }{ l } = 1 + \left( - \omega^2 \right) \int^\infty_0 dt' \, G( t - t' ) \\ \displaystyle \quad + \left( - \omega^2 \right)^2 \int^\infty_0 dt' \int^\infty_0 dt'' \, G( t - t' ) G( t' - t'' ) + \cdots

したがって、問題はGreen関数の積の積分ということになる。
いくつか計算してみる。
\displaystyle \int^\infty_0 dt' \, G( t - t' ) = \int^t_0 dt' \, ( t - t' ) = \frac{ t^2 }{ 2! } \\ \displaystyle \int^\infty_0 dt' \int^\infty_0 dt'' \, G( t - t' ) G( t' - t'' ) = \int^t_0 dt' \int^{t'}_0 dt'' \, ( t - t' ) ( t' - t'' ) \\ \displaystyle \quad = \int^t_0 dt' \int^{t'}_0 d\tau \, ( t - t' ) \tau = \int^t_0 dt' \, ( t - t' ) \frac{ t'^2 }{ 2! } \\ \displaystyle \quad = \frac{ 1 }{ 2! } \left( \frac{ t^{ 2 + 2 } }{ 2 + 1 } - \frac{ t^{ 2 + 2 } }{ 2 + 2 } \right) = \frac{ 1 }{ 2! } \frac{ t^{ 2 + 2 } }{ ( 2 + 1 )( 2 + 2 ) } = \frac{ t^4 }{ 4! }

したがって、以下のような一般化が予想できる。
\displaystyle \quad \int^\infty_0 dt' \, G( t - t' ) \frac{ t'^n }{ n! } = \frac{ 1 }{ n! } \left( \frac{ t^{ n + 2 } }{ n + 1 } - \frac{ t^{ n + 2 } }{ n + 2 } \right) \\ \displaystyle \quad = \frac{ 1 }{ n! } \frac{ t^{ n + 2 } }{ ( n + 1 )( n + 2 ) } = \frac{ t^{n+2} }{ ( n + 2 )! } \\ \displaystyle \therefore \frac{ x( t ) }{ l } = 1 + \left( - \omega^2 \right) \frac{ t^2 }{ 2! } + \left( - \omega^2 \right)^2 \frac{ t^4 }{ 4! } \cdots = \sum_{n=0} ( - 1 )^n \frac{ ( \omega t )^{ 2n } }{ 2n!! } = \cos( \omega t )

よって、 x( t ) = l \cos( \omega t ) と求めることが出来た。