nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

ガウス関数の相関関数

数学

以前の記事で相関関数をまとめた。
koideforest.hatenadiary.com
ここではガウス関数を使って、振舞を調べる。

フーリエ変換の定義
\displaystyle f( k ) = \int f( x ) e^{ - i k x } dx, \qquad f( x ) = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \int f( k ) e^{ i k x } dx


自己相関関数
\displaystyle h_f( \xi ) = \int f( x ) f( x + \xi ) d\xi = \frac{1}{2\pi} \int \left| f( k ) \right|^2 e^{ i k \xi } dk = \frac{1}{2\pi} \int s_f( k ) e^{ i k \xi } dk

ガウス関数
\displaystyle f( x ) = e^{ - a x^2 } \rightarrow f( k ) = \sqrt{ \frac{ \pi }{ a } } e^{ - \frac{ k^2 }{ 4 a } }

\displaystyle f( k ) = e^{ - b k^2 } \rightarrow f( x ) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 4 \pi b } } e^{ - \frac{ x^2 }{ 4 b } }

スペクトルと自己相関関数
\displaystyle s_f( k ) = \left| f( k ) \right|^2 = \frac{ \pi }{ a } e^{ - \frac{ k^2 }{ 2 a } } \rightarrow h_f( \xi ) = \sqrt{ \frac{ \pi }{ 2 a } } e^{ - \frac{ a }{ 2 } \xi^2 }
\xi = 0 で、 h( 0 ) = \sqrt{ \pi / 2 a }がちゃんと求まっていることがわかる。


相互相関関数の定義
\displaystyle h_{fg}( \xi ) = \int f( x ) g( x + \xi ) d\xi = \frac{1}{2\pi} \int f^*( k ) g( k ) e^{ i k \xi } dk = \frac{1}{2\pi} \int s_{fg}( k ) e^{ i k \xi } dk

より一般的なガウス関数
\displaystyle f( x ) = e^{ - a_f ( x - x_f )^2 } \rightarrow f( k ) = \sqrt{ \frac{ \pi }{ a_f } } e^{ i k x_f } e^{ - \frac{ k^2 }{ 4 a_f } } \\ \displaystyle g( x ) = e^{ - a_g ( x - x_g )^2 } \rightarrow g( k ) = \sqrt{ \frac{ \pi }{ a_g } } e^{ i k x_g } e^{ - \frac{ k^2 }{ 4 a_g } }

クロススペクトルと相互相関関数
\displaystyle s_{fg}( k ) = f^*( k ) g( k ) = \frac{ \pi }{ \sqrt{ a_f a_g } } e^{ i k ( x_f - x_g ) } e^{ - \frac{ a_f + a_g }{ 4 a_f a_g } k^2 } \\ \displaystyle \qquad \rightarrow h_{fg}( \xi ) = \sqrt{ \frac{ \pi }{ a_f + a_g } } e^{ - \frac{ a_f a_g }{ a_f + a_g } ( x - ( x_f - x_g ) )^2 }

コヒーレンスと位相
\displaystyle {\rm coh}^2_{fg}( k ) = \frac{ \left| s_{fg} \right|^2 }{ s_f s_g } = 1 \\ \displaystyle \theta_{fg} = \tan^{-1}\frac{ \Im s_{fg}( k ) }{ \Re s_{fg}( k ) } = - k( x_f - x_g )
関数を並行移動させた程度では、コヒーレンスは（最大値のまま）変わらないため、本質的な関数の形の議論に役立ちそう。
以下で追加考察。
koideforest.hatenadiary.com

一方で、位相は関数の並行移動をもろに受ける。波数に対して位相が線形ならば、関数が単に並行移動していると言えそう。