自由落下をGreen関数で解く。

二階微分だけの演算子に対するGreen関数を求めた。
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求めたと言っても、斉次解が含まれていないので、Green関数の一般解にはなっていない。
斉次解を含めると、

$\displaystyle G_0( t - t' ) = \frac{ | t - t' | }{ 2 } + a t + b$

ここで、自由落下の問題を考える。
$\displaystyle m \frac{ d^2 }{ d t^2 } z( t ) = - m g \rightarrow \frac{ d^2 }{ d t^2 } z( t ) = - g \\ \displaystyle z( 0 ) = 0, \, \dot{ z }( 0 ) = 0, \, t \ge 0$

この時、Green関数を用いると、
$\displaystyle z( t ) = z_0( t ) + \int^{\infty}_0 G_0( t - t' )( - g ) \, dt'$

一応、確認すると、
$\displaystyle \frac{ d^2 }{ d t^2 } z( t ) = \int^{\infty}_0 \frac{ d^2 }{ d t^2 } G_0( t - t' )( - g ) \, dt' = \int^{\infty}_0 \delta( t - t' )( - g ) \, dt' = - g$

Green関数の境界条件を以下のように設定すると、
$\displaystyle G( 0, t' ) = \frac{ t' }{ 2 } + b = 0 \rightarrow b = - \frac{ t' }{ 2 } \\ \displaystyle \frac{ d }{ d t } G( 0, t' ) = \frac{ \theta( - t' ) - \theta( t' ) }{ 2 } + a = - \frac{ 1 }{ 2 } + a \rightarrow a = \frac{ t }{ 2 } \\ \displaystyle \therefore G( t - t' ) = \frac{ | t - t' | }{ 2 } + \frac{ t - t' }{ 2 } = ( t - t' )\theta( t - t' )$
本当にこれで良いのかは知らない。。。
これを用いると、
$\displaystyle z( t ) = z_0( t ) - g \int^{t}_0( t - t' ) \, dt' = z_0( t ) - g \left( t \cdot t - \frac{1}{2} t^2 \right) = z_0( t ) - \frac{ 1 }{ 2 } g t^2$