一次元の単振動の微分方程式に対するGreen関数を求めてみる。
したがって、計算するべき積分は、
時間が正か負かで積分経路が変わるので、以下場合分けで考える。
今、実軸上の極を全て避けるように積分経路を取ったので、
極がギリギリ積分経路内に入らないような円弧を使って避ける。
極は二つあるので、それぞれ避ける。
二つ目。
Jordanの補助定理により、この大円弧の積分はゼロになる。
したがって、
積分経路の取り方が逆になるため、(結果には多分効かないが)符号に注意。
今回も、積分経路内に極は入れないようにする。
極が含まれないのでゼロ
大円弧もゼロ。
小円弧は有限の値を返す。
の時と比較して符号が逆になっていることに注意。
したがって、
最終的に、単振動のGreen関数は次のように得られた。
このシグネイチャー関数によるGreen関数のトンガリが関数を与える。