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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

単純な（熱力学）エントロピーのモデル

単純なエントロピーのモデルを弄ってみる。
参考文献：

  • 清水明、『熱力学の基礎（第２版）』東京大学出版会
  • H.B. Callen, Thermodynamics and an introduction to thermostatistics, 2nd edition (Wiley, 1985)

エントロピー表示
\displaystyle S(U,V,N) = (UVN)^{1/3} \, (U \ge 0)

  • 同次性

\displaystyle S(\lambda U,\lambda V,\lambda N) = (\lambda^3 UVN)^{1/3} = \lambda (UVN)^{1/3} = \lambda S(U,V, N)

  • 凸性（上に凸）

\displaystyle \frac{ \partial^2 S}{\partial U^2} = -\frac{2}{9} \left(\frac{VN}{U^5}\right)^{1/3} \le 0

エネルギー表示
\displaystyle U(S,V,N) = \frac{S^3}{VN}

  • 同次性

\displaystyle U(\lambda S,\lambda V,\lambda N) = \frac{\lambda^3}{\lambda^2} \frac{S^3}{VN}= \lambda U(S,V, N)

  • 凸性（下に凸）

\displaystyle \frac{ \partial^2 U}{\partial S^2} = 6 \frac{S}{VN} \ge 0 \\ \displaystyle \frac{ \partial^2 U}{\partial V^2} = 2 \frac{S}{V^3N} \ge 0

温度
\displaystyle \frac{ \partial U}{\partial S} = 3 \frac{S^2}{VN} = \frac{3}{S} U = T \\ \displaystyle U(S, V, N) =\frac{S}{3} T(S, V, N) \\ \displaystyle T(S, V, N) =3\frac{S^2}{VN} \,\, \therefore S = \left(\frac{T}{3} V N\right)^{1/2}

ヘルムホルツの自由エネルギー
\displaystyle F(T,V,N) = U(T,V,N) - T S(T,V,N) = -\frac{2}{3} T S(T, V, N) \\ \displaystyle \quad = -\frac{2}{3} \left(\frac{T^3}{3} V N\right)^{1/2}

  • 凸性（温度に対して上に凸）

\displaystyle \frac{ \partial^2 F}{\partial T^2} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{3T} V N\right)^{1/2} \le 0
温度一定の条件を課せば、凸性は内部エネルギーと一致する。
このことは、凸性がルジャンドル変換で逆になっていても、熱浴下による温度一定条件であれば、平衡状態は U と同様に F を最小することで得られることに対応している。