円周率が3.8より大きい証明（？）

円周率が4である動画が話題になった。
「円周率＝４」を証明してみせましょう。“3.14…”を覆す新理論（？）に驚愕する声多数！理数系学生「反論思いつかなくて草」
これと似たようなことを自分でもやってみた。

アイデアは「波数が無限に大きく、かつ振幅が無限に小さい正弦波の長さは、（見た目）直線と同じ」というものである。
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$n=100000$ ではもはや直線にしか見えない。
波数が大きくなるにつれて、徐々に振幅を小さくしているが、実はこれらの線の長さは全て同じである。
$\sin(x)$ を $0 \le x \le 2 \pi$ まで線積分すると、 $4 \sqrt{2} E( 1/2 )$ （ $E(k)$ ：第二種完全楕円積分）であるので、
$\displaystyle 2 \pi = 4 \sqrt{2} E( 1/2 ) \\ \displaystyle \therefore \pi = 2 \sqrt{2} E( 1/2 ) = 3.82... > 3.8$
と数値的に求まる。

以下、種明かし。
次の正弦波を考える。

$\displaystyle y = \frac{ \sin( n x ) }{ a }$

線積分がし易いように、媒介変数表示で表すと、
$\displaystyle x = \theta, \quad y = \frac{ \sin( n \theta ) }{ a }$

よって、 $0 \le \theta \le 2 \pi$ における正弦波の長さは、 $1/4$ 周期を4倍して、それを $n$ 個考えれば良く、1周期 $= 2\pi / n$ だから、
$\displaystyle 4 n \int^{\pi/2n}_0 \sqrt{ \left( \frac{ d x }{ d \theta } \right)^2 + \left( \frac{ d y }{ d \theta } \right)^2 } d \theta = 4 n \int^{\pi/2n}_0 \sqrt{ 1 + \frac{ n^2 }{ a^2 } \cos^2 ( n \theta ) } \, d \theta \\ \displaystyle = 4 \int^{\pi/2}_0 \sqrt{ 1 + \frac{ n^2 }{ a^2 } \cos^2 ( \theta' ) } \, d \theta'$
ここで、 $\theta' = n \theta$ とした。
見るとわかるが、 $r \equiv \frac{ n^2 }{ a^2 } = constant$ であれば $n, a \rightarrow \infty$ であっても線分の長さが変わらない。
ここでは $r = 1$ （つまり通常の正弦波）として計算を進める。

$\displaystyle 4 \int^{\pi/2}_0 \sqrt{ 1 + \cos^2 ( \theta' ) } \, d \theta' = 4 \int^{\pi/2}_0 \sqrt{ 1 + 1 - \sin^2 ( \theta' ) } \, d \theta' \\ \displaystyle = 4 \sqrt{2} \int^{\pi/2}_0 \sqrt{ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 ( \theta' ) } \, d \theta' = 4 \sqrt{2} E\left( \frac{1}{2} \right)$

ここで、 $E(k)$ は完全第二種楕円積分として、次のように与えられる。
$\displaystyle E\left( k \right) = \int^{\pi/2}_0 \sqrt{ 1 - k \sin^2 ( \theta ) } \, d \theta$
一見すると簡単そうだが、初等的には歯が立たないことが知られている。
楕円積分 - Wikipedia

$E(1/2)$ は 1.35064... と数値計算で求まるので、冒頭にあったように、 $2 \sqrt{2} E( 1/2 ) = 3.82... > 3.8$ であることがわかる。

今は $r = 1$ と置いたが、論理的には $r$ はいくらでも大きく出来るので、 $\pi$ はいくらでも大きくなることになる。
本当に $\pi$ が3.14... より大きいことを証明するためには、下限を求める必要がある。
実は今やっているのは、数学的には上から抑えていた $\pi < 2\sqrt{2}E\left( \frac{1}{2} \right)$ に過ぎない。
これを下から抑えようとすると、 $n$ は有限で $a \rightarrow \infty$ の時に線分の長さが最小になることを使うと、 $0 \le x \le 2 \pi$ の区間における線分の長さは $2 \pi$ であり、 $\pi \le \pi$ という極当たり前の結果が得られる。