nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

Møller wave operator における 加藤の連鎖律(?)

N粒子系における二体ポテンシャル Vを、粒子ペアに番号を付けて、その間の相互作用の和( M=N(N-1)/2)として定義する。

 \displaystyle
\begin{align}
V &\equiv \sum^{M}_{k=1} v_k = V_i + \bar{ V }_i = V_M = \bar{ V_0 }\\
V_i &\equiv \sum^{ i }_{k=1} v_k \\
\bar{ V }_i &\equiv \sum^{M}_{k= i + 1 } v_k
\end{align}

二体ポテンシャルとしたが、結局は相互作用に何かしら番号が付けられて、全体がその和として与えらえるのであれば、いろんな応用が考えられる(と思う)。
このような相互作用に対するN粒子系のGreen関数を以下のように定義。

 \displaystyle
\begin{align}
G &\equiv ( z - H_0 - V )^{-1} = G_M \\
G_i &\equiv ( z - H_0 - V_i )^{-1}
\end{align}

ここで次の量を考える。

 \displaystyle
\begin{align}
1 + G \bar{ V }_i &= G G^{-1} \left( 1 + G \bar{ V }_i \right)
    = G \left( G^{-1} + \bar{ V }_i \right) = G \left(  z - H_0 - V + \bar{ V }_i \right) \\
    &= G \left(  z - H_0 - V_i \right) = G \left( G_i \right)^{-1} \\
1 + G_i v_i &= G_i \left( G_i \right)^{-1} \left( 1 + G_i v_i \right)
    = G_i \left( \left( G_i \right)^{-1} + v_i \right) = G_i \left(  z - H_0 - V_i + v_i \right) \\
    &= G_i \left(  z - H_0 - V_{i-1} \right) = G_i \left( G_{i-1} \right)^{-1}
\end{align}

したがって、 G = G_Mに注意すると、

 \displaystyle
\begin{align}
G_M \left( G_i \right)^{-1} 
    &= G_M \left( G_{M-1} \right)^{-1} G_{M-1} \left( G_i \right)^{-1} \\
    &= G_M \left( G_{M-1} \right)^{-1} G_{M-1} \cdots \left( G_{i+1} \right)^{-1} G_{i+1} \left( G_i \right)^{-1}
\end{align}

すなわち、

 \displaystyle
\begin{align}
1 + G_M \bar{ V }_i
    &= \left( 1 + G_M v_M \right) \left( 1 + G_{M-1} v_{M-1} \right) \cdots \left( 1 + G_{i+1} v_{i+1} \right)
\end{align}

これを i = 0の場合に適用すれば、

 \displaystyle
\begin{align}
1 + G V &= 1 + G \sum^{M}_{k=1} v_k \\
    &= \left( 1 + G_M v_M \right) \left( 1 + G_{M-1} v_{M-1} \right) \cdots \left( 1 + G_1 v_1 \right)
\end{align}

という様に、和を積で表現し直すことが出来る。

 1 + GVはMøller wave operator  \Omegaとして知られており、 \Omega_i = 1 + G_i v_i と定義すれば、

 \displaystyle
\begin{align}
\Omega = \prod^{M}_{k=1} \Omega_k
\end{align}

と表せる。これを加藤の連鎖律と呼ぶらしい。

相互作用のペアを大きめに取っておいて、上手い具合に分割したら上手いこと相互作用を繰り込んだりして遊べそうな気がする。