摩擦のある直線運動のラグランジュアン、ハミルトニアン、リウビリアン

前回、ラグランジュアンからハミルトニアン、リウビリアンまでの流れをまとめた。
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今回は、具体的な問題として、摩擦のある直線運動を扱う。

ニュートン方程式

$\displaystyle m \ddot q = - m \gamma \dot q$

普通に解くと、
$\displaystyle \log \dot q(t) = - \gamma t + C \\ \displaystyle \dot q(t) = v_0 e^{- \gamma t} \quad (\dot q(0) = e^C \equiv v_0) \\ \displaystyle q(t) = q_0 + \frac{v_0}{\gamma} \left( 1 - e^{- \gamma t} \right)$

ラグランジュ方程式

天下り的だが、ニュートン方程式の解を満足するようにラグランジュアンを構築する。
$\displaystyle T = \frac{m}{2} \dot q^2 e^{\gamma t}, \, V = 0 \\ \displaystyle L = T - V = \frac{m}{2} \dot q^2 e^{\gamma t} \\ \displaystyle \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} = 0 = \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q} = \frac{d}{dt} \left( m \dot q e^{\gamma t} \right) = m\ddot q e^{\gamma t} + m \gamma \dot q e^{\gamma t} = 0 \\ \displaystyle \therefore m \ddot q = - m \gamma \dot q$
構築したラグランジュアンが、元のニュートン方程式を再現することが確認できた。

ハミルトニアン

$\displaystyle p(\dot q) = \frac{\partial L}{\partial \dot q} = \frac{\partial T}{\partial \dot q} = m \dot q e^{\gamma t} \\ \displaystyle \dot q (p) = \frac{p}{m} e^{-\gamma t} \\ \displaystyle L(q, \dot q(p), t) = \frac{m}{2} \dot q^2(p) e^{\gamma t} = \frac{m}{2} e^{\gamma t} \left( \frac{p}{m} e^{-\gamma t} \right)^2 = \frac{p^2}{2m} e^{-\gamma t} \\ \displaystyle H = \dot q (p) p - L(q,\dot q(p), t) = \frac{p^2}{m} e^{-\gamma t} - \frac{p^2}{2m} e^{-\gamma t} = \frac{p^2}{2m} e^{-\gamma t}$

リウビリアン

$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial \rho}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial \rho}{\partial q} = - \frac{p}{m} e^{-\gamma t} \frac{\partial}{\partial q} \rho \equiv \mathcal{L} \rho \\ \displaystyle \mathcal{L} = - \frac{p}{m} e^{-\gamma t} \frac{\partial}{\partial q}$

リウビル方程式から軌跡を復元する。
以下の偏微分方程式を考える。
$\displaystyle \left(\frac{\partial}{\partial t} + \frac{p}{m} e^{-\gamma t} \frac{\partial}{\partial q}\right) \rho = 0$

一階の偏微分方程式は以下の方法で解ける。
自然科学のための数学2014年度第29講
以下の関数 $f(q,p,t)$ は、対象の偏微分方程式を満足する。
$\displaystyle f(q,p,t) = \frac{p}{m} \frac{1}{\gamma} e^{-\gamma t} + q \\ \displaystyle \left(\frac{\partial}{\partial t} + \frac{p}{m} e^{\gamma t} \frac{\partial}{\partial q}\right) f(q,p,t) = 0$
この $f$ を引数とする任意の関数 $F(f)$ も偏微分方程式を満足する。
よって、 $f(q,p,t)=const$ となる $q,p$ が位相空間上での運動の軌跡に対応する。
$\displaystyle \frac{p}{m} \frac{1}{\gamma} e^{-\gamma t} + q = C \\ \displaystyle q = C -\frac{p}{m} \frac{1}{\gamma} e^{-\gamma t} \\ \displaystyle q(t=0) = q_0 = C - \frac{p}{m} \frac{1}{\gamma}, \quad C = q_0 + \frac{p}{m} \frac{1}{\gamma} \\ \displaystyle q(t) = q_0 + \frac{p}{m} \frac{1}{\gamma} \left( 1 - e^{-\gamma t} \right) \equiv q_0 + \frac{v_0}{\gamma} \left( 1 - e^{-\gamma t} \right), \quad (p/m = v_0)$