（古典）解析力学：ラグランジュアンとハミルトニアンとリウビリアン

ラグランジュアンから出発して、ハミルトニアン、そしてリウビリアンまで概説する。

ラグランジュアンからハミルトニアンまで

ラグランジュアン $L(q,\dot q, t)$ が満たすラグランジュ方程式
$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot q} = 0$

$L(q,\dot q, t)$ の全微分
$\displaystyle dL = \frac{\partial L}{\partial q} dq + \frac{\partial L}{\partial \dot q} d\dot q + \frac{\partial L}{\partial t} dt$

ルジャンドル変換により、ハミルトニアン $H(q,p,t)$ を定義。
$\displaystyle p(\dot q) \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q} \\ \displaystyle dL = \frac{\partial L}{\partial q} dq + p (\dot q) d\dot q + \frac{\partial L}{\partial t} dt \\ \displaystyle H(q,p,t) = \dot q(p) p - L(q, \dot q(p), t)$
$p(\dot q)$ は $p$ は $\dot q$ の関数である。
$\dot q(p)$ は $\dot q$ を $p$ の関数として表し直したものである。

ルジャンドル変換の性質より
$\displaystyle \frac{\partial H}{\partial p} = \dot q$

また、 $H$ の定義とラグランジュ方程式から、
$\displaystyle \frac{\partial H}{\partial q} = - \frac{\partial L}{\partial q} = - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot q} = - \frac{d}{d t} p = - \dot p$

これで正準方程式が得られた。

ハミルトニアンからリウビリアンまで

位相空間の座標ベクトルを $\Gamma = (q,p)$ とする。
位相空間の密度分布 $\rho(\Gamma, t)$ の時間発展を流体として扱う。圧縮・非圧縮はまだ仮定していないが、後で正準方程式を満たす運動系は位相空間で非圧縮流体的に振る舞うことが分かる（リウビルの定理）。
保存流は $(\rho, \rho \dot \Gamma)$ であるため、連続の方程式は、
$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla_\Gamma \cdot (\rho \dot \Gamma) = 0 \\ \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\nabla_\Gamma \rho) \cdot \dot \Gamma + \rho_\Gamma (\nabla \cdot \dot \Gamma) = 0$

非圧縮流体の場合には、 $\nabla_\Gamma \cdot \dot \Gamma=0$ となるが、これが正準方程式により満たされることを示す。
$\displaystyle \nabla_\Gamma \cdot \dot \Gamma = \frac{\partial}{\partial q} \dot q + \frac{\partial}{\partial p} \dot p = \frac{\partial}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} = 0$

これにより、 $\rho$ が満たすべき方程式が得られる。
$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\nabla_\Gamma \rho) \cdot \dot \Gamma = 0 \\ \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \left(\frac{\partial \rho}{\partial q}, \frac{\partial \rho}{\partial p}\right) \cdot (\frac{\partial H}{\partial p}, -\frac{\partial H}{\partial q}) = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial \rho}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial \rho}{\partial q} \equiv \left\{H, \rho \right\}_{PB}$