調和振動子のハミルトニアンを生成消滅演算子で表す。

生成消滅演算子の係数がいつも天下りだったので、自分で求めてみることにした。

調和振動子のハミルトニアン
$\displaystyle H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}x^2$

ちなみに、古典軌道の調和振動子について復習しておくと、
$\displaystyle m\ddot{x}_c = F(x_c) = - k x_c \\ \displaystyle \ddot{x}_c = - \frac{k}{m} x_c = - \omega^2 x_c \quad \left( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\right) \\ \displaystyle F(x_c) = - \frac{ d V(x_c) }{ d x_c } \rightarrow V(x_c) = \frac{1}{2} k x_c^2 = \frac{m\omega^2}{2} x_c^2$
復習終了。

ハミルトニアンを平方完成するような演算子 $a, a^{\dagger}$ を作りたい。
見たところ、 $a = \alpha p + \beta x$ とおいて、二乗した時に交差項（ $xp$ or $px$ ）が出て来なければ良さそうである。
ただし、ハミルトニアンはエルミートであることが要請されるので、 $a^{\dagger} a$ の形で二乗を表現することにする。
とりあえず試してみると、
$\displaystyle a^{\dagger} a = (\alpha^* p + \beta^* x) (\alpha p + \beta x) = |\alpha|^2 p^2 + |\beta|^2 x^2 + \alpha \beta^* x p + \alpha^* \beta p x$

ハミルトニアンと見比べて、
$\displaystyle |\alpha|^2 = \frac{1}{2m} \\ \displaystyle |\beta|^2 = \frac{m\omega^2}{2}$
だと具合が良さそうである。

交差項を消すには、正準交換関係 $[x,p] = i \hbar$ の利用を考える。
そのためには、
$\displaystyle \alpha^* = - \alpha \\ \displaystyle \beta^* = \beta$
つまり、 $\alpha$ は純虚数、 $\beta$ は実数であれば良さそうである。

この条件を課すと、
$\displaystyle \alpha \beta^* x p + \alpha^* \beta p x = \alpha \beta [x,p] = i \hbar \alpha \beta$
と表せる。

ここで、 $a^{\dagger}, a$ が生成消滅演算子として働くように、 $[a, a^{\dagger}] = 1$ の条件を課すと、
$\displaystyle [a, a^{\dagger}] = - 2 i \hbar \alpha \beta = 1 \\ \displaystyle \therefore 2 \hbar (\Im\alpha) (\Re\beta) = 1$
つまり、 $\alpha$ と $\beta$ は同符号である。

$2 \hbar (\Im\alpha) (\Re\beta) = 1$ を一旦忘れて、これまでの情報を整理すると、
$\displaystyle \alpha = \frac{i}{\sqrt{2m}} \\ \displaystyle \beta = \sqrt{ \frac{m\omega^2}{2} } = \frac{m\omega}{\sqrt{2m}}$
と出来そうだが、 $2 \hbar (\Im\alpha) (\Re\beta) = 1$ を思い出すと、このままでは $2 \hbar (\Im\alpha) (\Re\beta) = \hbar \omega \neq 1$ である。

そこで、 $\alpha, \beta$ を $\hbar \omega$ で割ったもので再定義すれば上手く行きそうである。
これは、ハミルトニアン全体を $\hbar \omega$ で括り、その中身を平方完成することに対応する。
$\displaystyle H = \hbar \omega \left( \frac{p^2}{2 \hbar m \omega} + \frac{m^2\omega^2}{2 \hbar m \omega} x^2 \right) = \hbar \omega \left( a^{\dagger} a - i \hbar \alpha \beta \right) \\ \displaystyle \alpha = \frac{i}{\sqrt{2 \hbar m \omega } } \\ \displaystyle \beta = \frac{m\omega}{\sqrt{2 \hbar m \omega }} \\ \displaystyle \therefore \\ \displaystyle a = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega }}( i p + m \omega x ) \\ \displaystyle a^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega }}( - i p + m \omega x )$