Fourier変換の符号や係数の気持ち。

自分で毎回忘れるので、まとめておく。

Fourier変換の符号や係数は、変換と逆変換とで対になっていれば良いため（語弊があるが）不定性があり、分野によって異なる（気がしている）。

一応、自分ルールとして、

位置 $x$ および時間 $t$ を基準とし、波数 $k$ もしくは（角）振動数 $\omega$ に変換にする方向を「順」方向。
したがって、 $k \rightarrow x$ または $\omega \rightarrow t$ は「逆」方向。

と考える。

量子力学的な観点でここでは考えていく。
運動量およびエネルギーの固有関数は、それぞれ次のような平面波で表される。
$\displaystyle \phi( x; p ) = \langle x | p \rangle = N e^{ i k x } \quad ( p = \hbar k ) \\ \displaystyle \left( \hat p( x ) \phi( x; p ) = -i\hbar \frac{ d }{ dx } \phi( x; p ) = p \phi( x; p ) \right)$
$\displaystyle \psi( x, t; E ) = \psi( x; E ) e^{ - i \omega t } \quad ( E = \hbar \omega ) \\ \displaystyle \left( i\hbar \frac{ d }{ dt } \psi( x, t; E ) = E \psi( x, t; E) \right)$

したがって、任意の $x$ や $t$ の関数をこれらの固有関数の重なりで表現すると思うと、
$\displaystyle f( x ) = c_x \int dk \, f(k) e^{ i k x } \\ \displaystyle f( t ) = c_t \int d\omega \, f(\omega) e^{ - i \omega t }$
という位相を採用するのが適当であろう。
注意するべきは、これらは「逆変換」の式である。何となく「逆」とついていると後から決まるような感じがするが、ここではそうではない。

これによって、「順」方向側の変換の位相が定まる。
$\displaystyle f( k ) = c_k \int dx \, f(x) e^{ - i k x } \\ \displaystyle f( \omega ) = c_\omega \int dt \, f(t) e^{ i \omega t }$
「基準となる関数から、知りたい平面波の係数を抜き出す」というイメージになるだろうか。

残るは係数であるが、
$\displaystyle c_x c_k = \frac{1}{2\pi} \\ \displaystyle c_t c_\omega = \frac{1}{2\pi}$
という関係であるため、一意には決まらない。

ここで、Fourier変換のモチベーションに戻ると、基準である $x, t$ の関数はわかっているから、知りたいのは $f(k), f(\omega)$ である。
そのため、 $f(k) = \cdots$ , $f(\omega) = \cdots$ という式をパッと使いたくなるし、頻出することが予想される。それゆえの「順」方向である。
したがって、順方向側の係数を簡単にして、逆方向側にメンドクサイのを押し付ける方が便利（なように感じるの）である。
よって、
$\displaystyle c_x = \frac{1}{2\pi}, \quad c_k = 1 \\ \displaystyle c_t = \frac{1}{2\pi}, \quad c_\omega = 1$

最終形は、
$\displaystyle f( k ) = \int dx \, f(x) e^{ - i k x } \Leftrightarrow f( x ) = \frac{1}{2\pi} \int dk \, f(k) e^{ i k x } \\ \displaystyle f( \omega ) = \int dt \, f(t) e^{ i \omega t } \Leftrightarrow f( t ) = \frac{1}{2\pi} \int d\omega \, f(\omega) e^{ - i \omega t }$

nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

Fourier変換の符号や係数の気持ち。