nano_exit

基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

散乱理論：位相シフトとT行列

量子力学

外側で値を持たないポテンシャルに対する外側の波動関数は、一般に次のように書ける。
\displaystyle \psi_{\bf k}( {\bf r} ) = \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \sum_L i^l ( A_l \, j_l( kr ) + B_l \, n_l( kr ) ) Y_L( \hat{\bf r} ) Y^*_L( \hat{\bf k} ) \\ \displaystyle \quad = \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \sum_L i^l A_l( j_l( kr ) - \tan\delta_l \, n_l( kr ) ) Y_L( \hat{\bf r} ) Y^*_L( \hat{\bf k} ) \\ \displaystyle \left( \frac{ 1 }{ (2\pi)^{3/2} } e^{ i {\bf k} \cdot {\bf r} } = \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \sum_L i^l j_l( kr )Y_L( \hat{\bf r} ) Y^*_L( \hat{\bf k} ) \right)
平面波の球面波展開と比較すれば、動径S-eq.の非正則解の線形結合になっていて、一般解の形になっているのがわかると思う。
-\infty \le \tan\delta_l \le \inftyであるため、この変換は厳密である。
（わざわざマイナスにしたのは、無限遠での漸近形における位相シフトの意味を分かりやすくするためのものだが、ここでは重要ではない。）

一方で、Lippman-Scwinger方程式を用いて解を表すこともできる。ここでは、Hartree原子単位を用いる。
\displaystyle \psi_{\bf k}( {\bf r} ) = \phi_{\bf k}( {\bf r} ) + \int d{\bf r}' \, G_0( {\bf r} - {\bf r}' ) V( {\bf r}' ) \psi_{\bf k}( {\bf r}' ) \\ \displaystyle \quad = \phi_{\bf k}( {\bf r} ) + \int d{\bf r}' d{\bf r}'' \, G_0( {\bf r} - {\bf r}' ) T( {\bf r}', {\bf r}'' ) \phi_{\bf k}( {\bf r}'' ) \\ \displaystyle \quad = \frac{ 1 }{(2 \pi)^{3/2} } e^{ i {\bf k} \cdot {\bf r} } + \int d{\bf r}' d{\bf r}'' \, G_0( {\bf r} - {\bf r}' ) T( {\bf r}', {\bf r}'' ) \frac{ 1 }{(2 \pi)^{3/2} } e^{ i {\bf k} \cdot {\bf r}'' } \\ \displaystyle \quad = \sqrt{ \frac{ 2 }{ \pi } } \sum_L i^l \left( j_l( kr ) Y_L( {\bf r} ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \qquad + \int d{\bf r}' d{\bf r}'' \, G_0( {\bf r} - {\bf r}' ) T( {\bf r}', {\bf r}'' ) j_l( kr'' ) Y_L( \hat{\bf r}'' ) \right) Y^*_L( \hat{\bf k} ) \\ \displaystyle \quad = \sqrt{ \frac{ 2 }{ \pi } } \sum_L i^l \left( j_l( kr ) Y_L( \hat{\bf r} ) \\ \displaystyle \qquad \qquad - 2 i k \sum_{L'} \int d{\bf r}' d{\bf r}'' \, j_{l'}( kr_< ) Y^*_{L'}( \hat{\bf r}_< ) h^{(1)}_{l'}( kr_> ) Y_{L'}( \hat{\bf r}_> ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times T( {\bf r}', {\bf r}'' ) j_l( kr'' ) Y_L( \hat{\bf r}'' ) \right) Y^*_L( \hat{\bf k} )
自由電子Green関数の部分波展開は以前にまとめた。
koideforest.hatenadiary.com

{\bf r}がポテンシャルの範囲の外側の時、 {\bf r} > {\bf r}'が常に成り立つから、球対称ポテンシャルを仮定すると T行列は角運動量に対して対角的になり、
\displaystyle \psi_{\bf k}( {\bf r} ) = \sqrt{ \frac{ 2 }{ \pi } } \sum_L i^l \left( j_l( kr ) Y_L( {\bf r} ) \\ \displaystyle \qquad - 2 i k \sum_{L'} \sum_{L''} h^{(1)}_{l'}( kr ) Y_{L'}( \hat{\bf r} ) \int d{\bf r}' d{\bf r}'' \, j_{l'}( kr' ) Y^*_{L'}( \hat{\bf r}' ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \times t_{l''}( r', r'') Y_{L''}( \hat{\bf r}' ) Y^*_{L''}( \hat{\bf r}'' ) j_l( kr'' ) Y_L( \hat{\bf r}'' ) \right) Y^*_L( \hat{\bf k} ) \\ \displaystyle \quad = \sqrt{ \frac{ 2 }{ \pi } } \sum_L i^l \left( j_l( kr ) Y_L( \hat{\bf r} ) \\ \displaystyle \qquad - 2 i k h^{(1)}_{l}( kr ) Y_{L}( \hat{\bf r} ) \int dr' dr'' \, r'^2 r''^2 \, j_l( kr' ) t_{l}( r', r'') j_l( kr'' ) \right) Y^*_L( \hat{\bf k} ) \\ \displaystyle \quad \equiv \sqrt{ \frac{ 2 }{ \pi } } \sum_L i^l \left( j_l( kr ) - i k h^{(1)}_{l}( kr ) \, \tilde{t}_l( k ) \right) Y_L( \hat{\bf r} ) Y^*_L( \hat{\bf k} )

\tilde{t}_l(k)の中に「2倍」を含ませていることに注意。
したがって、 \delta_lと \tilde{t}_l( k )の関係は、 h^{(1)}_l = j_l + i n_lより、
\displaystyle A_l = 1 - i k \tilde{t}_l( k ) \\ \displaystyle - A_l \tan \delta_l = k \tilde{t}_l( k ) \\ \displaystyle \therefore \tan \delta_l = - \frac{ k \tilde{t}_l( k ) }{ A_l } = - \frac{ k \tilde{t}_l( k ) }{ 1 - i k \tilde{t}_l( k ) } = i \frac{ i k \tilde{t}_l( k ) }{ 1 - i k \tilde{t}_l( k ) }

答えをもう知っているのもあって、恣意的ではあるが、
\displaystyle \tan \delta_l = \frac{ \sin \delta_l }{ \cos \delta_l } = -i \frac{ e^{ 2 i \delta_l } - 1 }{ e^{ 2 i \delta_l } + 1 } = i \frac{ 1 - e^{ 2 i \delta_l } }{ 1 + e^{ 2 i \delta_l } } \\ \displaystyle \quad = i \frac{ 1 - e^{ 2 i \delta_l } }{ 2 - ( 1 - e^{ 2 i \delta_l } ) } = i \frac{ ( 1 - e^{ 2 i \delta_l } ) /2 }{ 1 - ( 1 - e^{ 2 i \delta_l } ) / 2 } = i \frac{ i k \tilde{t}_l( k ) }{ 1 - i k \tilde{t}_l( k ) } \\ \displaystyle \therefore i k \tilde{t}_l( k ) = \frac{ 1 - e^{ 2 i \delta_l } }{ 2 }

したがって、
\displaystyle \tilde{t}_l( k ) = - \frac{ e^{ 2 i \delta_l } - 1 }{ 2 i k }

これにより、展開係数 A_lも求まり、
\displaystyle A_l = 1 - i k \tilde{t}_l( k ) = 1 + \frac{ e^{ 2 i \delta_l } - 1 }{ 2 } = \frac{ e^{ 2 i \delta_l } + 1 }{ 2 } = e^{ i \delta } \cos \delta_l \\ \displaystyle \therefore \, \psi_{\bf k}( {\bf r} ) = \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \sum_L i^l e^{ i \delta_l } ( \cos \delta_l \, j_l( kr ) - \sin \delta_l \, n_l( kr ) ) Y_L( \hat{\bf r} ) Y^*_L( \hat{\bf k} )

注意として、部分散乱振幅 f_l(k)（これを t_l(k)と書く流儀もある）とは逆符号になっている。
\displaystyle f_l( k ) = \frac{ e^{ 2 i \delta_l } - 1 }{ 2 i k } = - \tilde{t}_l( k )
散乱振幅 - Wikipedia

そのうち、散乱波も加えてまとめたい。