高速フーリエ変換する時の端点の話。

高速フーリエ変換ことFFT（ファイナルファンタジータクティクスではありません）は、結局は離散フーリエ変換な訳で、ある範囲のデータが無限に周期的に繰り返しているとしてフーリエ変換してくれます。
この時に、端の点のどこで周期性を課すのか、ややこしくなったのでまとめます。

基本的には、 $x_n = n \Delta x\, (n \in \mathbb{N})$ に対して、関数 $f( x )$ が
$\displaystyle L = N \Delta x \\ \displaystyle f( x_n + L ) =f( x_n )$
という周期性を満たすとするのが一般的です。
これをもう少しほぐせば、
$f( x_n + L ) = f( x_n + N \Delta x) = f( ( n + N ) \Delta x ) = f( n \Delta x)$
と書けるので、一番シンプルに表せば $f( x_0 ) = f( x_N )$ という関係を満たせば良いということになります。

しかし、ここでちょっと考えてみましょう。
$x_0$ から $x_N$ までの点の数を数えると、 $\sum^{N}_{n=0} = N+1$ となり、 $N$ よりも一点多くなってしまいます。
では $L$ を、 $N+1$ で割らずに、 $N$ で割る意味とは何なのか？

例えば、1から5まで数えてみましょう。
当たり前ですが、{1, 2, 3, 4, 5} と表せます。
そして、それぞれの数字の間隔は $5 \div 5 = 1$ です。
だから、数字の間隔は「点数で割れば良い」と思いたくなります。が、間違いです。
実は、本当は $( 5 - 0 ) \div 5 = 1$ を計算しているのであって、{0, 1, 2, 3, 4, 5} と見ると点と点の間の個数が5なのです。始点である0を含めると点の数は6ですから、間の個数は1だけ小さくなります。
したがって、1から5を2等分するとなると、数字の間の個数が2個なので、 $( 5 - 1 ) / 2 = 2$ と求まります。数列は、{1, 3, 5}となり、点の数は3個です。
これらは中学校（？）で習う植木算というやつです。中学数学も侮れませんね。

それで、pythonで等間隔メッシュを作る時、'linspace'と'arange'が便利ですが、上記の点に関して注意が必要です。
以下にテストコードを書きます。

import numpy as np

N = 2**2
L = 100

alpha = 1e-7

np.linspace( 0, L, N )  # 0, 33.33333333, 66.66666666, 100
np.arange( 0, L, L/N )  # 0, 25, 50, 75
np.arange( 0, L + alpha, L/N )  # 0, 25, 50, 75, 100