周期的境界条件の位相の和の関係

前回、Tight-Bindingで使った位相の和の関係についてまとめておく。
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$\displaystyle \frac{ 1 }{ N } \sum_k e^{ i k R_i } = \delta_{ R_i 0 } \\ \displaystyle \frac{ 1 }{ N } \sum_i e^{ i k R_i } = \delta_{ k 0 }$
これらを証明する。

簡単のため、格子定数 $a$ の一次元格子を考える。
格子点 $N$ 個を含む範囲 $L = N a$ （今の場合は長さと表現できる。2,3次元では箱とよく呼ばれる）を設定し、この $L$ が周期的に繰り返しているとする。ここに割と自分は嵌まった。もともと格子定数 $a$ で既に周期的であるが、わざわざそれよりも大きい入れ物で周期性を考えるのである。この $L$ の中で、格子点は $i = 0, 1, \cdots, N-1$ が含まれるとする。 $0$ と $N$ が同じ値を取るとするのが周期的境界条件である。

この一次元格子上で平面波が満たすべき条件は、
$e^{ i k L } = e^{ i k 0 } = 1$ より、 $k = 2 \pi n / L = 2 \pi n / ( N a )$ （ただし、 $n$ は整数）となり、（結晶）運動量が定まる。 $L \rightarrow \infty \, ( N \rightarrow \infty )$ としない限り、運動量は離散化する。

ここで、この平面波を $L$ 内で和を取る。 $R_i = a n_i$ と出来るから、
$\displaystyle \sum_{ i } e^{ i k R_i } = \sum^{ N-1 }_{ n_i = 0 } e^{ i k a n_i } = ( 1 + e^{ i k a } + e^{ 2 i k a} + \cdots + e^{ ( N - 1 ) i k a } )$

この級数は、
$\displaystyle S = 1 + e^{ i k a } + e^{ 2 i k a} + \cdots + e^{ ( N - 1 ) i k a } \\ \displaystyle e^{ i k a } S = e^{ i k a } + e^{ 2 i k a} + \cdots + e^{ ( N - 1 ) i k a } + e^{ N i k a } \\$

ここで $e^{ N i k a } = e^{ N i ( 2 \pi / N a ) a } = 1$ より、

$\displaystyle S = 1 + e^{ i k a } + e^{ 2 i k a} + \cdots + e^{ ( N - 1 ) i k a } \\ \displaystyle e^{ i k a } S = e^{ i k a } + e^{ 2 i k a} + \cdots + e^{ ( N - 1 ) i k a } + 1 \\$

よって、 $( 1 - e^{ i k a } ) S = 0$ であり、 $k \neq 0$ のとき $S = 0$ 。
$k = 0$ のとき $S = 1 + 1 + \cdots + 1 = N$ となる。
これをまとめると、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ N } \sum_{ i } e^{ i k R_i } = \delta_{k0}$

となる。kについても同様に、和の範囲を $N$ に制限すると、
$\displaystyle \sum_{ k } e^{ i k R_i } = \sum^{ N-1 }_{ n_k = 0 } e^{ i ( 2 \pi n_k / L ) R_i } = 1 + e^{ i (2 \pi R_i / L ) } + e^{ 2 i (2 \pi R_i / L ) } + \cdots + e^{ ( N - 1 ) i (2 \pi R_i / L ) } \\$