等速円運動の曲率半径

自然座標

$\vec r(t)$ が描く軌道上の点 $\vec r(t_0=0)$ を基準点に選ぶ。ここから軌道に沿った $\vec r(t_1)$ までの距離を $s(t_1)$ とおけば、これを一般化して基準点からの軌道に沿った距離 $s$ は時間 $t$ の関数 $s(t)$ で表せる。
これを推し進め、 $\vec r(t) = \vec r_s( s( t ) )$ と変換すれば、軌道は $s$ の変数としてみなすことが出来る。

この表現を用いて、速度を表すことを考える。
$\displaystyle \vec v = \frac{ d \vec r }{ d t } = \frac{ d \vec r_s }{ d s } \frac{ d s }{ d t }$
ここで、
$\displaystyle \frac{ d \vec r_s }{ d s } = \lim_{\Delta s \rightarrow0} \frac{ \vec r_s( s + \Delta s ) - \vec r_s( s ) }{ \Delta s }$
$|\vec r_s( s + \Delta s ) - \vec r_s( s )|$ は二点間の直線距離、 $\Delta s$ はその二点間の軌道上の距離であるが、微小極限 $\Delta s \rightarrow 0$ では両者は一致するから、 $\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ は単位ベクトル $\left| \frac{ d \vec r_s }{ d s } \right| = 1$ であることがわかる。 $\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ の方向は、点 $s$ における軌道の接線方向に一致する。
$\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ が単位ベクトルであるから、 $\frac{ d s }{ d t }$ はそのまま速度の大きさに一致する。
まとめると
$\displaystyle \vec v = \frac{ d \vec r_s }{ d s } \frac{ d s }{ d t } = v \vec t \\ \displaystyle \vec t \equiv \frac{ d \vec r_s }{ d s }, \quad |\vec t| = 1 \\ \displaystyle v \equiv |\vec v| = \frac{ d s }{ d t }$

次に加速度を求める。
$\displaystyle \vec a = \frac{ d \vec v }{ d t } = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v \frac{ d \vec t }{ d s } \frac{ d s }{ d t } = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v^2 \frac{ d \vec t }{ d s }$
$\vec t$ が単位ベクトルであるため、 $s$ の微小変化に対する $\vec t$ の変化は微小回転に対応する。この $\vec t$ の微小回転は、回転中心を頂角に持つ二等辺三角形で図示され、底辺の長さが $\vec t$ の変化量に対応する。微小回転においては、二等辺三角形の底辺と円弧は等しいため、底辺以外の長さは $|\vec t| = 1$ であるから、 $|\Delta \vec t| = 1 \cdot \Delta \phi = \Delta \phi$ と書ける。 $\Delta \phi$ は微小回転角である。
これによって、 $\left| \frac{ d \vec t }{ d s } \right|$ は長さの逆数の次元を持つことが分かる。
$\displaystyle \left| \frac{ d \vec t }{ d s } \right| = \frac{d \phi}{ d s } \equiv \frac{1}{\rho}$
$\rho$ を曲率半径と呼ぶ。後で、等速円運動において半径に一致することを示す。
$\frac{ d \vec t }{ d s }$ は微小回転運動を表すため、その向きは $\vec t$ に対して垂直である。接線に垂直な線分を法線と呼ぶため、 $\frac{ d \vec t }{ d s }$ は法線ベクトルに平行と言える。
まとめると、
$\displaystyle \vec a = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v^2 \frac{ d \vec t }{ d s } \equiv \frac{ d v }{ d t } \vec t + \frac{ v^2 }{ \rho } \vec n \\ \displaystyle |\vec n| = 1, \quad \vec t \cdot \vec n = 0$

等速円運動

等速円運動を直観的に表すと、
$\displaystyle \vec r( t ) = ( r( t ) \cos( \theta( t ) ), r( t ) \sin( \theta( t ) ) ) = r( t ) \vec e_r( t ) \\ \displaystyle \vec e_r( t ) = ( \cos( \theta( t ) ), \sin( \theta( t ) ) ), \quad | \vec e_r( t ) | = 1 \\ \displaystyle r( t ) = a, \quad \theta( t ) = \omega t + \alpha$

ここから、速度と加速度が求まる。
$\displaystyle \vec v( t ) = \frac{ d r }{ d t } \vec e_r + r \frac{ d \vec e_r }{d t} = a \omega ( -\sin\theta, \cos\theta ) \equiv a \omega \vec e_\theta \\ \displaystyle \vec e_\theta( t ) = ( - \sin( \theta( t ) ), \cos( \theta( t ) ) ), \quad | \vec e_\theta( t ) | = 1, \quad \vec e_r \cdot \vec e_\theta = 0 \\ \displaystyle \vec a( t ) = a \omega \frac{ d \vec e_\theta }{d t} = - a \omega^2 \vec e_r$

これを自然座標の結果と比較する。
$\displaystyle \vec a = a \omega \frac{ d \vec e_\theta }{d t} = - a \omega^2 \vec e_r \\ \displaystyle \vec a = \frac{ d v }{ d t } \vec t + \frac{ v^2 }{ \rho } \vec n$
等速円運動において、速度のノルムは $v = a \omega$ で変化しないから $\frac{ d v }{ d t } = 0$ 。円運動の法線は回転中心に向かっているから、 $\vec n = - \vec e_r$ 。
よって、
$\displaystyle a \omega^2 = \frac{ (a \omega)^2 }{ \rho } \Leftrightarrow \rho = a$