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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

正規分布関数（Gauss関数）の正規性、平均および分散

数学

正規分布関数を以下に定義する。
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma^2 } } e^{ - \frac{ ( x - \mu )^2 }{ 2 \sigma^2 } }

規格化が成り立っていることの証明。
\displaystyle \int^\infty_{-\infty} e^{ - a x^2 } \, dx = \sqrt{ \frac{ \pi }{ a } } \\ \displaystyle \therefore \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma^2 } } \int^\infty_{-\infty} e^{ - \frac{ ( x - \mu )^2 }{ 2 \sigma^2 } } \, dx = 1

平均値が \muであることの証明。
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma^2 } } \int^\infty_{-\infty} x e^{ - \frac{ ( x - \mu )^2 }{ 2 \sigma^2 } } \, dx \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma^2 } } \int^\infty_{-\infty} (x' + \mu) e^{ - \frac{ (x')^2 }{ 2 \sigma^2 } } \, dx' \\ \displaystyle \qquad = \mu \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma^2 } } \int^\infty_{-\infty} e^{ - \frac{ (x')^2 }{ 2 \sigma^2 } } \, dx' \\ \displaystyle \qquad = \mu

分散が \sigmaであることの証明。
\displaystyle \int^\infty_{-\infty} x^2 e^{ - a x^2 } \, dx \\ \displaystyle \qquad = \int^\infty_{-\infty} \left( - \frac{ \partial e^{ - a x^2 } }{ \partial a } \right) \, dx \\ \displaystyle \qquad = - \frac{ \partial }{ \partial a } \int^\infty_{-\infty} e^{ - a x^2 } \, dx \\ \displaystyle \qquad = - \frac{ \partial }{ \partial a } \sqrt{ \frac{ \pi }{ a } } \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ \pi }{ a^3 } } \\ \displaystyle \therefore \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma^2 } } \int^\infty_{-\infty} ( x - \mu )^2 e^{ - \frac{ ( x - \mu )^2 }{ 2 \sigma^2 } } \, dx \\ \displaystyle \qquad \frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma^2 } } \int^\infty_{-\infty} (x')^2 e^{ - \frac{ (x')^2 }{ 2 \sigma^2 } } \, dx' \\ \displaystyle \qquad \frac{1}{\sqrt{ \pi (2\sigma^2) } } \frac{1}{2} \sqrt{ \pi (2\sigma^2)^3 } \\ \displaystyle \qquad = \sigma^2
よって、 \sigma (= \sqrt{ \sigma^2 } ) は標準偏差を表すことになる。