2020-10-26

周期結晶におけるフーリエ変換（フーリエ級数展開）。

固体物理数学

そもそもの「フーリエ変換」と「フーリエ級数」の違いについては以下のサイトが詳しい。
フーリエ変換とDFTの関係
 離散化と周期化

ざっとまとめると、
フーリエ変換：x（連続、非周期）→ k（連続、非周期）
フーリエ級数：x（連続、周期）→ k（離散、非周期）
z変換：x（離散、非周期）→ k（連続、周期）
離散フーリエ変換：（離散、非周期）→ k（離散、非周期）

したがって、周期結晶では周期性があるので、フーリエ級数に対応する。
しかし、固体物理で言う周期性には二段階あるため、注意が必要である。簡単のため一次元を考えると、

周期 $a$ : unit cellの周期性
周期 $L$ : $N$ 個のunit cellの周期性

$N$ というのは、フーリエ級数展開するのときのパラメータの様なものだと考えるのが簡単である。
もう少し説明すると、「 $a$ がunit cellの周期」であることを一旦忘れて、「 $a$ が領域 $L$ のデータ点の間隔」と思えば、 $L$ （ $N$ ）が大きければ大きいほど波数の間隔は細かくなり、長波長の波を表現することができる。
$N \rightarrow \infty$ とすると、「フーリエ変換」に戻り、周期性の恩恵は得られない。

わざわざ二段階にする必要は無いように感じられるかもしれない。しかし、周期 $a$ だけを採用すると、周期 $a$ で繰り返している現象しか記述できない。例えば、波動関数がunit cellをまたがって位相情報を共有している場合、明らかに波動関数の周期は $a$ ではない。その周期が収まる「入れ物」が必要であり、収まるように拡大した周期が $L$ なのである。

この条件において、フーリエ級数展開を考える。
そのために、ややこしいが、「周期 $L$ の周期性が有限回（ $2M+1$ 回）」であるとし、後で $M\rightarrow \infty$ の極限を取る方法を採用する。

任意の周期関数 $f$ は次のように書ける。
$\displaystyle f( r ) = \sum_{m=-M}^M f_L( r - m L )$
ただし、 $f_L( r )$ は $0 \le r < L$ の範囲で値を持つとする。

これを「フーリエ変換」する。
係数の付け方は以前の内容を踏襲。
koideforest.hatenadiary.com
$\displaystyle f( k ) = \int dr \, f( r ) e^{- i k r } = \sum_{m=-M}^M \int dr \, f_L( r - m L ) e^{- i k r } \\ \displaystyle \qquad = \sum_{m=-M}^M e^{- i k m L } \int^L_0 dr' \, f_L( r' ) e^{- i k r' } \equiv f_L( k ) \sum_{m=-M}^M e^{- i k m L }$

$\sum_{m=-M}^M e^{- i k m L }$ はディリクレ核と呼ばれ、 $M \rightarrow \infty$ でデルタ関数になる。
（参考：離散化と周期化）
これがこの記事の肝である（~~肝の部分を引用で済ますのもどうかと思うが~~）。
記事によれば、
$\displaystyle \lim_{M\rightarrow \infty} \sum_{m=-M}^M e^{- i k m L } = \frac{2\pi}{L} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta\left( k - \frac{2\pi}{L} n\right) \\ \qquad \displaystyle \equiv \frac{2\pi}{L} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta\left( k - k_n \right)$

したがって、
$\displaystyle f( r ) = \sum_{m=-\infty}^\infty f_L( r - m L ) \\ \displaystyle f( k ) = \frac{2\pi}{L} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta\left( k - k_n \right) \int^L_0 dr' \, f_L( r' ) e^{- i k r' } = \frac{2\pi}{L} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta\left( k - k_n \right) f_L( k_n )$

逆変換は
$\displaystyle f( r ) = \frac{1}{2\pi} \int dk \, f(k) e^{ikr} = \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_L(k_n) e^{i k_n r} = \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_L(k_n) e^{i k_n ( r - mL )} \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int dr' \, f_L( r' ) e^{i k_n (r - mL - r')} \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{L} \frac{1}{\Delta k} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Delta k \, \int dr' \, f_L( r' ) e^{i k_n (r - mL - r')} \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2\pi} \int dk\, dr' \, f_L( r' ) e^{i k (r - mL - r')} \\ \displaystyle \qquad = \int dr' \, f_L( r' ) \delta( r - mL - r' ) \\ \displaystyle \qquad = f_L( r - mL )$
$m$ は $f( r ) = f_L( r - mL )$ を満たす整数である。

ここまでは、ほぼ一般のフーリエ級数の話である。
ここから、二段階の周期性を入れた「周期結晶のフーリエ級数展開」の話になる。

もし、関数 $g( r )$ が周期 $a$ の周期性を持つ場合、周期 $L$ は周期 $a$ を $N$ 個含むから、
$\displaystyle g( r ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} g_L( r - m L ) \\ \displaystyle g_L( r ) = \sum_{l = 0}^{N-1} g_a( r - l a )$

これにより、フーリエ級数は
$\displaystyle g_L( k_n ) = \int^L_0 dr' \, g_L( r' ) e^{- i k_n r' } = \sum_{l = 0}^{N-1} \int^a_0 dr' \, g_a( r' - l a ) e^{- i k_n r' } \\ \displaystyle \qquad = \sum_{l = 0}^{N-1} e^{-i ( k_n a ) l} \int^a_0 dr'' \, g_a( r'' ) e^{- i k_n r'' } \equiv \sum_{l = 0}^{N-1} e^{-i ( k_n a ) l} g_a( k_n )$

$\sum_{l = 0}^{N-1} e^{-i ( k_n a ) l}$ は以前にまとめた内容が使えて、 $n = n_K N$ （ $n_K$ ：任意の整数）のみが許される。
koideforest.hatenadiary.com
注意として、以前の記事では $0 \le n \le N-1$ の範囲（後述）だったため $k_n = 0$ しか許されないが、今の場合には無限なのでゼロ以外にも成分が残る。
したがって、
$\displaystyle \sum_{l = 0}^{N-1} e^{-i ( k_n a ) l} = N \delta_{k_n, K} \\ \displaystyle K \equiv \frac{ 2 \pi }{ L } n_k N = \frac{ 2 \pi }{ N a } n_k N = \frac{ 2 \pi }{ a } n_K \\ \displaystyle g_L( k_n ) = N \delta_{k_n, K} g_a( K )$
$K$ は逆格子ベクトルと呼ばれ、周期 $a$ （格子定数）で決まる。
したがって、 $k = \tilde k + K$ とすれば、 $\tilde k = k_i ( 0 \le i \le N-1 )$ と $K_j = k_{jN}$ の二つのラベルで関数を表すことができる。
これが、以前に $0 \le n \le N-1$ の範囲しか考えなかった理由である（ $\tilde k_i ( 0 \le i \le N-1 )$ のみを考えていたということ）。

これにより、周期 $L$ を持つ関数 $f_L$ は、
$\displaystyle f_L( k ) = f_L( \tilde k + K ) = f_{L, K}(\tilde k)$
のように表すこともできる。

逆変換は、
$\displaystyle g( r ) = \frac{1}{L} \sum_{n=-\infty}^{\infty} g_L(k_n) e^{i k_n r} = \frac{1}{a} \sum_{j=-\infty}^{\infty} g_a(K_j) e^{i K_j ( r - j a )}$
となる。

2020-10-16

ASEでバンド図のフェルミエネルギーを設定する話。

プログラミング固体物理

ASEを使ってQuantum ESPRESSOを動かすチュートリアルをやってみた。
Espresso — ASE documentation
第一原理計算高速チュートリアル · 物性実験家のための無料でできる第一原理計算入門

すると、計算したフェルミエネルギーをバンド図のプロットで設定しようとするとフェルミエネルギーのところで、「cannot attribute "reference"」的なエラーが出る。

calc = Espresso( ... )
...
bs = calc.band_structure()
bs.reference = fermi_level

ソースを見るために、"pip show ase" でインストールした場所を探す。
pipでインストールしたパッケージの場所を調べる - Qiita

ソースを見てみると、calc.band_structure() はクラスase.spectrum.band_structure.BandStructureのインスタンスを作るので、 bs は Espresso にはもはやぶら下がっていない。
それで、BandStructureを見てみると、

class BandStructure:
    def __init__(self, path, energies, reference=0.0):
        ...
        self._reference = reference

    ...

    @property
    def reference(self) -> float:
        return self._reference

したがって、クラス変数は「_reference」であり、「reference」はクラス関数なのである。

ではなぜ「bs.reference」と変数のように書けたかというと、pythonのデコレーターである@propetyのおかげである。
3.4. プロパティ - ゼロから学ぶ Python
したがって、いくら変数のように見えても、関数であるから代入は出来ない。このため、外から見ると変数の再代入が禁止されているように見える。

つまり、正しくは「bs._reference = fermi_level」と書けば良い、ということであった。

2020-09-30

二体演算子の第二量子化

固体物理量子力学

二体演算子 $v$ は、（Fermion）粒子のペアが重要であり、順列には依らない。
$\displaystyle v_{i,j} = v_{j,i}$

N粒子系に作用する二体演算子 $V_N$ は、 $v$ の全ての粒子ペアを取ったもので表せる。
$\displaystyle V_N = \sum_{i < j}^N v_{i,j} = \frac{1}{2}\left( \sum_{i < j}^N v_{i,j} + \sum_{i < j}^N v_{j,i} \right) = \frac{1}{2}\left( \sum_{i < j}^N v_{i,j} + \sum_{j < i}^N v_{i,j} \right) = \frac{1}{2} \sum_{ i \neq j }^N v_{i,j}$

$v$ の位置表示について対角的だとすると、
$\displaystyle v_{i,j} | \vec r_1 ; i \rangle | \vec r_2 ; j \rangle = v( \vec r_1, \vec r_2 ) | \vec r_1 ; i \rangle | \vec r_2 ; j \rangle \\ \displaystyle \qquad = v_{j,i} | \vec r_1 ; i \rangle | \vec r_2 ; j \rangle = v( \vec r_2, \vec r_1 ) | \vec r_1 ; i \rangle | \vec r_2 ; j \rangle$

N粒子系のSlater行列式は、
$\displaystyle \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{P} \prod_{k=1}^N (-1)^P | \vec r_k ; P(k) \rangle$
したがって、
$\displaystyle V_N \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} v( \vec r_i, \vec r_j ) \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$
最初は粒子のペアだったのが、位置座標のペアに代わっていることに注意。

ここから、第二量子化へと進んでいく。

Slater行列式と以下の（第二量子化）表現が等価になるように場の演算子 $\hat \psi$ が定義されているとする。
$\displaystyle \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \equiv \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle$

このときに、以下の関係を満たすように $V_N$ を第二量子化した $\hat V$ を探すことが目標である。
$\displaystyle \hat V \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle = V_N \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$

そして、天下り的であるが、 $\hat V$ は（位置表示：場の演算子において）以下のように表される。
$\displaystyle \hat V = \frac{1}{2} \int d\vec x d\vec y \, \hat \psi^\dagger( \vec x ) \hat \psi^\dagger( \vec y ) \, v( \vec x, \vec y ) \, \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x )$
ここから、 $\hat V$ が正しく $V_N$ と繋がるかどうかを確認する。

まず、場の消滅演算子を $\left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$ に作用させると、
$\displaystyle \hat \psi( \vec x ) \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \hat \psi( \vec x ) \, \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle$
$\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \}$ は $\hat \psi^\dagger( \vec r_{i} )$ が抜けている（消滅している）ことを表す。

同様にして、
$\displaystyle \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x ) \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \hat \psi( \vec y ) \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \sum_{ j (< i ) } (-1)^{j-1} \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{j} ) \right\} \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad + \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \sum_{ j (> i ) } (-1)^{j-2} \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{j} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle$

一方で、ここから場の生成演算子を作用させていくと、
$\displaystyle \hat \psi^\dagger( \vec y ) \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x ) \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \sum_{ j (< i ) } (-1)^{j-1} \hat \psi^\dagger( \vec r_j ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{j} ) \right\} \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad + \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \sum_{ j (> i ) } (-1)^{j-2} \hat \psi^\dagger( \vec r_j ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{j} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i=1}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \, \left( \sum_{ j (< i ) } + \sum_{ j ( > i ) } \right) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i \neq j}^N (-1)^{i-1} \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle$
$\displaystyle \hat \psi^\dagger( \vec x ) \hat \psi^\dagger( \vec y ) \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x ) \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i \neq j}^N (-1)^{i-1} \hat \psi^\dagger( \vec r_i ) \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \left\{ \hat \psi^\dagger( \vec r_{i} ) \right\} \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i \neq j}^N \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \\ \displaystyle \qquad \qquad \times \hat \psi^\dagger( \vec r_1 ) \cdots \cdots \hat \psi^\dagger( \vec r_N ) | 0 \rangle \\ \displaystyle \qquad = \sum_{i \neq j}^N \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$
場の演算子の掛ける順番に注意。これは $\hat V$ の積分の中身に対応させてある。
和は、位置番号に対応しているが、場の演算子の表現にした時点で、位置番号と粒子番号が同等として扱われている。

したがって、
$\displaystyle \hat V \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j }^N \int d\vec x d\vec y \, v( \vec x, \vec y ) \delta( \vec x - \vec r_i ) \delta( \vec y - \vec r_j ) \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j }^N v( \vec r_i, \vec r_j ) \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle \\ \displaystyle \qquad = V_N \, \left| \vec r_1, \cdots \vec r_N \right\rangle$
場の演算子による表現が、Slater行列式による表現と一致することが示せた。

ここから、 $\hat V$ を他の生成消滅演算子で書くと、
$\displaystyle \hat V = \int d\vec x d\vec y \, \hat \psi^\dagger( \vec x ) \hat \psi^\dagger( \vec y ) \, v( \vec x, \vec y ) \, \hat \psi( \vec y ) \hat \psi( \vec x ) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} \left( \int d\vec x d\vec y \, \psi_\alpha^*( \vec x ) \psi^*_\beta( \vec y ) \, v( \vec x, \vec y ) \, \psi_{\beta'}( \vec y ) \psi_{\alpha'}( \vec x ) \right) c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'} \\ \displaystyle \qquad \equiv \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} v_{\alpha \beta, \alpha' \beta'} \, c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'}$
もし、 $\alpha', \beta'$ の和が同じ空間内を動くなら、
$\displaystyle \hat V = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} v_{\alpha \beta, \alpha' \beta'} \, \left( \frac{1}{2} c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'} + \frac{1}{2} c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'} \right) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} v_{\alpha \beta, \alpha' \beta'} \, \left( \frac{1}{2} c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'} - \frac{1}{2} c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\alpha'} c_{\beta'} \right) \\ \displaystyle \qquad = \frac{1}{4} \sum_{\alpha, \alpha'} \sum_{\beta, \beta'} \left( v_{\alpha \beta, \alpha' \beta'} - v_{\alpha \beta, \beta' \alpha'} \right) \, c^\dagger_\alpha c^\dagger_\beta c_{\beta'} c_{\alpha'}$

2020-09-23

有効質量と自己エネルギーについて。

固体物理数学量子力学

前回、繰り込み因子と自己エネルギーの関係についてまとめた。
koideforest.hatenadiary.com
自己エネルギーの虚部がゼロ（ $\rm Im \Sigma = 0$ ）であるところでは、スペクトル関数がデルタ関数で表せるため、（準）粒子のエネルギーが上手く定義出来ている。
その（準）粒子エネルギーを $\omega( \vec p ) = \omega_{\vec p } + \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) )$ と定義した。

今回は、（電子の）有効質量と自己エネルギーについてまとめる。
非摂動状態のエネルギー $\omega_{\vec p}$ が粒子質量 $m$ に反比例するとする。
$\displaystyle \omega_{\vec p} \equiv \frac{1}{m} f( \vec p )$
自由電子であれば、 $\omega_{\vec p} = \frac{p^2}{2m} \, ( f( \vec p) = p^2 / 2 )$ である。

ここで、 $\omega( \vec p )$ を $\omega_{\vec p}$ で展開すると、
$\displaystyle \omega( \vec p ) = \omega_0 + c \omega_{\vec p} + O\left( \omega_{\vec p}^2 \right) \\ \displaystyle \qquad \equiv \omega_0 + \frac{m}{m^*} \omega_{\vec p} + O\left( \omega_{\vec p}^2 \right) \\ \displaystyle \qquad = \omega_0 + \frac{1}{m^*} f( {\vec p} ) + O\left( \omega_{\vec p}^2 \right) \\ \displaystyle \therefore \left. \frac{\partial \omega( \vec p )}{ \partial \omega_{\vec p}} \right|_{\omega_{\vec p} = 0 } = \frac{m}{m^*}$

元々、 $\omega( \vec p ) = \omega_{\vec p } + \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p) )$ であったから、
$\displaystyle \left. \frac{\partial \omega( \vec p )}{ \partial \omega_{\vec p}} \right|_{\omega_{\vec p} = 0 } = \frac{ m }{ m^* } \\ \displaystyle \qquad = \lim_{\omega_{\vec p} \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{ \partial \vec p }{ \partial \omega_{\vec p} } \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \vec p } + \frac{ \partial \omega(\vec p) }{ \partial \omega_{\vec p} } \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \omega( \vec p ) } \right) \\ \displaystyle \qquad = \lim_{\omega_{\vec p} \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{ \partial \vec p }{ \partial \omega_{\vec p} } \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \vec p } + \frac{m}{m^*} \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \omega( \vec p ) } \right) .$

したがって、
$\displaystyle \frac{ m }{ m^* } = \frac{ f_+( \vec p ) }{ g_-( \vec p ) } , \\ \displaystyle f_+ ( \vec p ) \equiv \lim_{\omega_{\vec p} \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{ \partial \vec p }{ \partial \omega_{\vec p} } \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \vec p } \right) \\ \displaystyle g_- ( \vec p ) \equiv \lim_{\omega_{\vec p} \rightarrow 0} \left( 1 - \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \omega( \vec p ) } \right) .$

参考文献

G. D. Mahan, "Many-Particle Physisc (THIRD EDITION)".

2020-09-23

繰り込み因子に自己エネルギーの微分が入る件について。

固体物理量子力学数学

ずっと自分の中でよく分かってなかった。
Mahanをパラパラ読んでたらちゃんと書いてあった。

係数には流儀があると思うが、自由状態において係数が $2\pi$ となるように（振動数 $\omega$ での逆Fourier的な積分が1になるように）スペクトル関数 $A$ を定義すると、
$\displaystyle G^{ret}_0( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } - \Sigma( \vec p, \omega ) + i \eta } \quad (\eta \rightarrow 0+ ) , \\ \displaystyle A(\vec p, \omega) \equiv - 2 {\rm Im} G^{ret}( \vec p, \omega ) , \\ \displaystyle \int \frac{d\omega}{2\pi} \, A( \vec p, \omega ) = 1 .$

具体例として自由状態を見ると、
$\displaystyle G^{ret}_0( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } + i \eta } , \\ \displaystyle A_0(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( \omega - \omega_{\vec p } ) , \\ \displaystyle \int \frac{d\omega}{2\pi} \, A_0( \vec p, \omega ) = 1 .$

一般には、 $\rm Im \Sigma \neq 0$ であるため、スペクトル関数はデルタ関数ではなく幅の付いた関数（例えばローレンツ関数）になる。
$\Sigma$ はエネルギー $\omega$ の関数であるため、 $\omega$ の領域によっては $\rm Im \Sigma$ が値を持ったり持たなかったりする。
ここで、 $\rm Im \Sigma = 0$ の領域を考えると、
$\displaystyle G^{ret}_{\rm Im \Sigma = 0}( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } - {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) + i \eta } , \\ \displaystyle A_{\rm Im \Sigma = 0}(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( \omega - \omega_{\vec p } - {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) ) .$

デルタ関数の引数が関数だった場合に、次のような関係を使うことができる。
$\displaystyle \delta( f(x) ) = \sum_{x_0 (f(x_0) = 0) } \frac{ \delta( x - x_0 ) }{ | f'(x_0) | }$

したがって、 $\omega( \vec p ) = \omega_{\vec p } + {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) )$ と定義すると、
$\displaystyle A_{\rm Im \Sigma = 0}(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( f( \vec p, \omega ) ) \quad ( f( \vec p, \omega( \vec p ) ) = 0 ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \pi \left| \frac{\partial f( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \pi \left| 1 - \frac{\partial {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) \\ \displaystyle \qquad \equiv 2 \pi Z( \vec p ) \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) , \\ \displaystyle Z( \vec p ) = \left| 1 - \frac{\partial {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} .$
$Z$ はrenormalization factor（繰り込み因子 or 再規格化因子）と呼ばれる。 $\int d\omega/2\pi \, A(\omega) = 1$ より、 $Z \le 1$ が言える。

$Z < 1$ の時には、 $\rm Im \Sigma \neq 0$ の領域が存在し、
$\displaystyle \int \frac{ d \omega} {2\pi} \, \left( A_{\rm Im \Sigma = 0}(\omega) + A_{\rm Im \Sigma \neq 0}(\omega) \right) = 1$
となって、積分値が保存される。

参考文献

G. D. Mahan, "Many-Particle Physisc (THIRD EDITION)".

2020-09-23

Hartree原子単位系とRydberg原子単位系

量子力学

いっつも細かいところを忘れる。
良い記述を見つけたのでメモ。

The Hartree atomic units

$\displaystyle e = m = \hbar = 1, \\ \displaystyle c = 1 / \alpha , \\ \displaystyle E^{H}_{1s} = 1/2 .$

$\alpha$ は微細構造定数, $E^H_{1s}$ は水素原子の1s電子のエネルギー。

The Rydberg atomic units

$\displaystyle e^2 = 2, \\ \displaystyle m = 1/2 \\ \displaystyle \hbar = 1, \\ \displaystyle c = 2 / \alpha , \\ \displaystyle E^{H}_{1s} = 1 .$

参考文献

M. J. Cooper, P. E. Mijnarends, N. Shiotani, N. Sakai, and A. Bansil, "X-RAY COMPTQON SCATTERING", Oxford University Press.

2020-09-03

等速円運動の曲率半径

力学

自然座標

$\vec r(t)$ が描く軌道上の点 $\vec r(t_0=0)$ を基準点に選ぶ。ここから軌道に沿った $\vec r(t_1)$ までの距離を $s(t_1)$ とおけば、これを一般化して基準点からの軌道に沿った距離 $s$ は時間 $t$ の関数 $s(t)$ で表せる。
これを推し進め、 $\vec r(t) = \vec r_s( s( t ) )$ と変換すれば、軌道は $s$ の変数としてみなすことが出来る。

この表現を用いて、速度を表すことを考える。
$\displaystyle \vec v = \frac{ d \vec r }{ d t } = \frac{ d \vec r_s }{ d s } \frac{ d s }{ d t }$
ここで、
$\displaystyle \frac{ d \vec r_s }{ d s } = \lim_{\Delta s \rightarrow0} \frac{ \vec r_s( s + \Delta s ) - \vec r_s( s ) }{ \Delta s }$
$|\vec r_s( s + \Delta s ) - \vec r_s( s )|$ は二点間の直線距離、 $\Delta s$ はその二点間の軌道上の距離であるが、微小極限 $\Delta s \rightarrow 0$ では両者は一致するから、 $\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ は単位ベクトル $\left| \frac{ d \vec r_s }{ d s } \right| = 1$ であることがわかる。 $\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ の方向は、点 $s$ における軌道の接線方向に一致する。
$\frac{ d \vec r_s }{ d s }$ が単位ベクトルであるから、 $\frac{ d s }{ d t }$ はそのまま速度の大きさに一致する。
まとめると
$\displaystyle \vec v = \frac{ d \vec r_s }{ d s } \frac{ d s }{ d t } = v \vec t \\ \displaystyle \vec t \equiv \frac{ d \vec r_s }{ d s }, \quad |\vec t| = 1 \\ \displaystyle v \equiv |\vec v| = \frac{ d s }{ d t }$

次に加速度を求める。
$\displaystyle \vec a = \frac{ d \vec v }{ d t } = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v \frac{ d \vec t }{ d s } \frac{ d s }{ d t } = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v^2 \frac{ d \vec t }{ d s }$
$\vec t$ が単位ベクトルであるため、 $s$ の微小変化に対する $\vec t$ の変化は微小回転に対応する。この $\vec t$ の微小回転は、回転中心を頂角に持つ二等辺三角形で図示され、底辺の長さが $\vec t$ の変化量に対応する。微小回転においては、二等辺三角形の底辺と円弧は等しいため、底辺以外の長さは $|\vec t| = 1$ であるから、 $|\Delta \vec t| = 1 \cdot \Delta \phi = \Delta \phi$ と書ける。 $\Delta \phi$ は微小回転角である。
これによって、 $\left| \frac{ d \vec t }{ d s } \right|$ は長さの逆数の次元を持つことが分かる。
$\displaystyle \left| \frac{ d \vec t }{ d s } \right| = \frac{d \phi}{ d s } \equiv \frac{1}{\rho}$
$\rho$ を曲率半径と呼ぶ。後で、等速円運動において半径に一致することを示す。
$\frac{ d \vec t }{ d s }$ は微小回転運動を表すため、その向きは $\vec t$ に対して垂直である。接線に垂直な線分を法線と呼ぶため、 $\frac{ d \vec t }{ d s }$ は法線ベクトルに平行と言える。
まとめると、
$\displaystyle \vec a = \frac{ d v }{ d t } \vec t + v^2 \frac{ d \vec t }{ d s } \equiv \frac{ d v }{ d t } \vec t + \frac{ v^2 }{ \rho } \vec n \\ \displaystyle |\vec n| = 1, \quad \vec t \cdot \vec n = 0$

等速円運動

等速円運動を直観的に表すと、
$\displaystyle \vec r( t ) = ( r( t ) \cos( \theta( t ) ), r( t ) \sin( \theta( t ) ) ) = r( t ) \vec e_r( t ) \\ \displaystyle \vec e_r( t ) = ( \cos( \theta( t ) ), \sin( \theta( t ) ) ), \quad | \vec e_r( t ) | = 1 \\ \displaystyle r( t ) = a, \quad \theta( t ) = \omega t + \alpha$

ここから、速度と加速度が求まる。
$\displaystyle \vec v( t ) = \frac{ d r }{ d t } \vec e_r + r \frac{ d \vec e_r }{d t} = a \omega ( -\sin\theta, \cos\theta ) \equiv a \omega \vec e_\theta \\ \displaystyle \vec e_\theta( t ) = ( - \sin( \theta( t ) ), \cos( \theta( t ) ) ), \quad | \vec e_\theta( t ) | = 1, \quad \vec e_r \cdot \vec e_\theta = 0 \\ \displaystyle \vec a( t ) = a \omega \frac{ d \vec e_\theta }{d t} = - a \omega^2 \vec e_r$

これを自然座標の結果と比較する。
$\displaystyle \vec a = a \omega \frac{ d \vec e_\theta }{d t} = - a \omega^2 \vec e_r \\ \displaystyle \vec a = \frac{ d v }{ d t } \vec t + \frac{ v^2 }{ \rho } \vec n$
等速円運動において、速度のノルムは $v = a \omega$ で変化しないから $\frac{ d v }{ d t } = 0$ 。円運動の法線は回転中心に向かっているから、 $\vec n = - \vec e_r$ 。
よって、
$\displaystyle a \omega^2 = \frac{ (a \omega)^2 }{ \rho } \Leftrightarrow \rho = a$