繰り込み因子に自己エネルギーの微分が入る件について。

ずっと自分の中でよく分かってなかった。
Mahanをパラパラ読んでたらちゃんと書いてあった。

係数には流儀があると思うが、自由状態において係数が $2\pi$ となるように（振動数 $\omega$ での逆Fourier的な積分が1になるように）スペクトル関数 $A$ を定義すると、
$\displaystyle G^{ret}_0( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } - \Sigma( \vec p, \omega ) + i \eta } \quad (\eta \rightarrow 0+ ) , \\ \displaystyle A(\vec p, \omega) \equiv - 2 {\rm Im} G^{ret}( \vec p, \omega ) , \\ \displaystyle \int \frac{d\omega}{2\pi} \, A( \vec p, \omega ) = 1 .$

具体例として自由状態を見ると、
$\displaystyle G^{ret}_0( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } + i \eta } , \\ \displaystyle A_0(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( \omega - \omega_{\vec p } ) , \\ \displaystyle \int \frac{d\omega}{2\pi} \, A_0( \vec p, \omega ) = 1 .$

一般には、 $\rm Im \Sigma \neq 0$ であるため、スペクトル関数はデルタ関数ではなく幅の付いた関数（例えばローレンツ関数）になる。
$\Sigma$ はエネルギー $\omega$ の関数であるため、 $\omega$ の領域によっては $\rm Im \Sigma$ が値を持ったり持たなかったりする。
ここで、 $\rm Im \Sigma = 0$ の領域を考えると、
$\displaystyle G^{ret}_{\rm Im \Sigma = 0}( \vec p, \omega ) = \frac{1}{ \omega - \omega_{\vec p } - {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) + i \eta } , \\ \displaystyle A_{\rm Im \Sigma = 0}(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( \omega - \omega_{\vec p } - {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) ) .$

デルタ関数の引数が関数だった場合に、次のような関係を使うことができる。
$\displaystyle \delta( f(x) ) = \sum_{x_0 (f(x_0) = 0) } \frac{ \delta( x - x_0 ) }{ | f'(x_0) | }$

したがって、 $\omega( \vec p ) = \omega_{\vec p } + {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) )$ と定義すると、
$\displaystyle A_{\rm Im \Sigma = 0}(\vec p, \omega) = 2\pi \delta( f( \vec p, \omega ) ) \quad ( f( \vec p, \omega( \vec p ) ) = 0 ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \pi \left| \frac{\partial f( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) \\ \displaystyle \qquad = 2 \pi \left| 1 - \frac{\partial {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) \\ \displaystyle \qquad \equiv 2 \pi Z( \vec p ) \delta( \omega - \omega( \vec p ) ) , \\ \displaystyle Z( \vec p ) = \left| 1 - \frac{\partial {\rm Re} \Sigma( \vec p, \omega ) }{\partial \omega } \right|^{-1}_{\omega = \omega(\vec p)} .$
$Z$ はrenormalization factor（繰り込み因子 or 再規格化因子）と呼ばれる。 $\int d\omega/2\pi \, A(\omega) = 1$ より、 $Z \le 1$ が言える。

$Z < 1$ の時には、 $\rm Im \Sigma \neq 0$ の領域が存在し、
$\displaystyle \int \frac{ d \omega} {2\pi} \, \left( A_{\rm Im \Sigma = 0}(\omega) + A_{\rm Im \Sigma \neq 0}(\omega) \right) = 1$
となって、積分値が保存される。