有効質量と自己エネルギーについて。

前回、繰り込み因子と自己エネルギーの関係についてまとめた。
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自己エネルギーの虚部がゼロ（ $\rm Im \Sigma = 0$ ）であるところでは、スペクトル関数がデルタ関数で表せるため、（準）粒子のエネルギーが上手く定義出来ている。
その（準）粒子エネルギーを $\omega( \vec p ) = \omega_{\vec p } + \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) )$ と定義した。

今回は、（電子の）有効質量と自己エネルギーについてまとめる。
非摂動状態のエネルギー $\omega_{\vec p}$ が粒子質量 $m$ に反比例するとする。
$\displaystyle \omega_{\vec p} \equiv \frac{1}{m} f( \vec p )$
自由電子であれば、 $\omega_{\vec p} = \frac{p^2}{2m} \, ( f( \vec p) = p^2 / 2 )$ である。

ここで、 $\omega( \vec p )$ を $\omega_{\vec p}$ で展開すると、
$\displaystyle \omega( \vec p ) = \omega_0 + c \omega_{\vec p} + O\left( \omega_{\vec p}^2 \right) \\ \displaystyle \qquad \equiv \omega_0 + \frac{m}{m^*} \omega_{\vec p} + O\left( \omega_{\vec p}^2 \right) \\ \displaystyle \qquad = \omega_0 + \frac{1}{m^*} f( {\vec p} ) + O\left( \omega_{\vec p}^2 \right) \\ \displaystyle \therefore \left. \frac{\partial \omega( \vec p )}{ \partial \omega_{\vec p}} \right|_{\omega_{\vec p} = 0 } = \frac{m}{m^*}$

元々、 $\omega( \vec p ) = \omega_{\vec p } + \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p) )$ であったから、
$\displaystyle \left. \frac{\partial \omega( \vec p )}{ \partial \omega_{\vec p}} \right|_{\omega_{\vec p} = 0 } = \frac{ m }{ m^* } \\ \displaystyle \qquad = \lim_{\omega_{\vec p} \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{ \partial \vec p }{ \partial \omega_{\vec p} } \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \vec p } + \frac{ \partial \omega(\vec p) }{ \partial \omega_{\vec p} } \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \omega( \vec p ) } \right) \\ \displaystyle \qquad = \lim_{\omega_{\vec p} \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{ \partial \vec p }{ \partial \omega_{\vec p} } \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \vec p } + \frac{m}{m^*} \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \omega( \vec p ) } \right) .$

したがって、
$\displaystyle \frac{ m }{ m^* } = \frac{ f_+( \vec p ) }{ g_-( \vec p ) } , \\ \displaystyle f_+ ( \vec p ) \equiv \lim_{\omega_{\vec p} \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{ \partial \vec p }{ \partial \omega_{\vec p} } \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \vec p } \right) \\ \displaystyle g_- ( \vec p ) \equiv \lim_{\omega_{\vec p} \rightarrow 0} \left( 1 - \frac{ \partial \rm Re \Sigma( \vec p, \omega( \vec p ) ) }{ \partial \omega( \vec p ) } \right) .$

参考文献

G. D. Mahan, "Many-Particle Physisc (THIRD EDITION)".

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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

有効質量と自己エネルギーについて。