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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

二階微分だけの演算子のGreen関数（フーリエ変換経由）

数学

前回、単振動方程式におけるGreen関数を導出した。
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\displaystyle \left( \frac{ d^2 }{ d t^2 } + \omega_0 \right) G_{ \omega_0 }( t - t' ) = \delta( t - t' ) \\ \displaystyle G_{ \omega_0 }( t - t' ) = {\rm sgn}( t - t' ) \frac{ \sin( \omega_0 ( t - t' ) ) }{ 2 \omega_0 }

二階微分だけとなると \omega_0 \rightarrow 0 と置き換えることに対応するのは明らかである。
\displaystyle \frac{ d^2 }{ d t^2 } G_0( t, t' ) = \delta( t - t' )
実は、ここから直接求めようとすると、二位の極をまともに扱わないといけないので、死にかけた（というか死んだ）。

そのため、単振動のGreen関数から \omega_0 \rightarrow 0 の極限を取ってあげると、
\displaystyle G_{\omega_0}( t - t' ) = \frac{ | t - t' | }{ 2 } \frac{ \sin( \omega_0 ( t - t' ) ) }{ \omega_0 ( t - t' ) } \rightarrow G_0( t - t' ) = \frac{ | t - t' | }{ 2 }
と素直に求まる。

一応、確認すると、
\displaystyle \frac{ d }{ d x } G_0( t - t' ) = \frac{ d }{ d x } \frac{ | t - t' | }{ 2 } = \frac{ d }{ d x } \frac{ ( t - t' ) \theta( t - t' ) + ( t' - t ) \theta( t' - t ) }{ 2 } \\ \displaystyle = \frac{ \theta( t - t' ) + ( t - t' ) \delta( t - t' ) - \theta( t' - t ) - ( t' - t ) \delta( t' - t ) }{ 2 } \\ \displaystyle = \frac{ \theta( t - t' ) - \theta( t' - t ) }{ 2 } \\ \displaystyle \frac{ d^2 }{ d x^2 } G_0( t - t' ) = \frac{ d }{ d x } \frac{ \theta( t - t' ) - \theta( t' - t ) }{ 2 } = \frac{ \delta( t - t' ) + \delta( t' - t ) }{ 2 } = \delta( t - t' )

「一度、困難を外す」というのは時に重要だと感じた次第である。