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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

単振動を（完全）Green関数を使って解く。

数学 力学

これまでは以下の非摂動Green関数 G_0を使って来た。
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\displaystyle \frac{ d^2 }{ d t^2 } x( t ) = f( t ) x( t ) \\ \displaystyle \frac{ d^2 }{ d t^2 } x_0( t ) = 0 \\ \displaystyle \frac{ d^2 }{ d t^2 } G_0( t, t' ) = \delta( t - t' ) \\ \displaystyle x( t ) = x_0( t ) + \int dt\, G_0( t, t' ) f( t' ) x( t' ) \\ \displaystyle \because \frac{ d^2 }{ d t^2 } x( t ) = \int dt' \, \delta( t - t' ) f( t' ) x( t' ) = f( t ) x( t )

また、T行列を使うと、積分の中を x_0を使って表すことが出来る。
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\displaystyle T( t, t' ) = f( t ) \delta( t - t' ) + f( t ) G_0( t - t' ) f( t' ) \\ \displaystyle \qquad \qquad + \int dt'' \, f( t ) G_0( t - t'' ) f( t'' ) G_0( t'' - t' ) f( t' ) \cdots \\ \displaystyle f( t ) x( t ) = \int dt' \, T( t, t' ) x_0( t' ) \\ \displaystyle x( t ) = x_0( t ) + \int dt' dt''\, G_0( t, t' ) T( t', t'') x_0( t'' )

今回は、 f(t)を取り込んだ（完全） Green関数 Gを使う。
\displaystyle \left( \frac{ d^2 }{ d t^2 } - f( x ) \right) x( t ) = 0 \\ \displaystyle \left( \frac{ d^2 }{ d t^2 } - f( x ) \right) G( t, t' ) = \delta( t - t' ) \\ \displaystyle x( t ) = x_0( t ) + \int dt\, G( t, t' ) f( t' ) x_0( t' ) \\ \displaystyle \because \left( \frac{ d^2 }{ d t^2 } - f( x ) \right) x( t ) = -f( x ) x_0( t ) + \int dt\, \delta( t - t' ) f( t' ) x_0( t' ) \\ \displaystyle \quad = -f( x ) x_0( t ) + f( t ) x_0( t ) = 0 \\ \displaystyle \therefore G( t, t' ) = G_0( t, t' ) + \int dt_1 dt_2 \, G_0( t, t_1 ) T( t_1, t_2 ) G_0( t_2, t' )

単振動 f(t) = - \omega^2 のGreen関数は以前に既に求めてあるが、境界条件を定めていなかったため、それを含めて決定する。
境界条件は x(0) = l, \dot{x}( t ) = 0であるため、 G( 0, t' ) = \dot{G}( 0, t' ) = 0が課せられる。
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\displaystyle G( t, t' ) = {\rm sgn}( t - t' ) \frac{ \sin( \omega( t - t' ) ) }{ 2 \omega } + a \cos( \omega t ) + b \sin( \omega t ) \\ \displaystyle G( 0 , t' ) = - \frac{ \sin( \omega( - t' ) ) }{ 2 \omega } + a = 0 \rightarrow a = - \frac{ \sin( \omega t' ) }{ 2 \omega } \\ \displaystyle \left. \frac{ d }{ d t } G( t , t' ) \right|_{ t = 0 } = - \frac{ \cos( \omega( - t' ) ) }{ 2 } + \omega b = 0 \rightarrow b = \frac{ \cos( \omega t' ) }{ 2 \omega } \\ \displaystyle \therefore G( t, t' ) = {\rm sgn}( t - t' ) \frac{ \sin( \omega( t - t' ) ) }{ 2 \omega } - \frac{ \cos( \omega t ) \sin( \omega t' ) }{ 2 \omega } + \frac{ \sin( \omega t ) \cos( \omega t' ) }{ 2 \omega } \\ \displaystyle \qquad = {\rm sgn}( t - t' ) \frac{ \sin( \omega( t - t' ) ) }{ 2 \omega } + \frac{ \sin( \omega ( t - t' ) ) }{ 2 \omega } \\ \displaystyle \qquad = \frac{ \sin( \omega( t - t' ) ) }{ \omega } \theta( t - t' )
とりあえず、遅延条件としてちゃんとGreen関数が求まった。
斉次解が今回求めたい解そのものなので、わざわざ Gを x(t)を解くのに必要なのかは疑問ではあるが、今は教育上必要ということで目を瞑る。

これを、積分の中に放り込めば、 f( t ) = - \omega^2より
\displaystyle x( t ) = l + \int^t_0 dt'\, \frac{ \sin( \omega( t - t' ) ) }{ \omega } ( - \omega^2 ) l = l - l \omega \int^t_0 dt'\, \sin( \omega( t - t' ) ) \\ \displaystyle \qquad = l + l \omega \int^{-t}_{0} dt''\, \sin( \omega( t + t'' ) ) \\ \displaystyle \qquad = l + l \omega \frac{1}{\omega} \left( - \cos( 0 ) + \cos( \omega t ) \right) \\ \displaystyle \qquad = l \cos( \omega t )

よって、ちゃんと求めることが出来た。