和の逆元が唯一つ存在することの証明。

この手の問題は、ついつい当たり前として証明をサボってしまうので、一つ一つ丁寧にやっていくことにする。

体 $K$ において、 $a \in K$ とすると、
$\displaystyle a + (-a) = 0$
となる逆元 $-a \in K$ が存在する。
$0 \in K$ は和において単位元の役割を果たす。

この時、逆元が唯一つしか存在しないことを、単位元 $0$ および逆元の性質、交換律そして結合律を使って証明する。

証明の方法としては、背理法に属すると思われる。
背理法の厳密な定義については、以下を参照。
koideforest.hatenadiary.com

「逆元が $-a$ 以外に存在する」と仮定して、そこから「何かしら」の矛盾が引き出せればそこで証明完了となる（仮定の否定が真になる）。

「逆元が $-a$ 以外に存在する」を定式化すると、
$\displaystyle a + b = 0 \, ( b \neq -a )$
となる。
ここから「何かしら」の矛盾を示せば良いが、「 $\neq$ 」が既に現れているため、「 $b = -a$ 」を目指せば矛盾を導き易そうだなと発想する。

まずは単位元の性質から、
$\displaystyle -a = -a + 0$
次に、仮定より
$\displaystyle -a + 0 = -a + ( a + b )$
結合律を使って、
$\displaystyle -a + ( a + b ) = ( -a + a ) + b$
交換律を使えば、
$\displaystyle ( -a + a ) + b = ( a + (-a) ) + b$
逆元の性質から、
$\displaystyle ( a + (-a) ) + b = 0 + b$
交換律より
$\displaystyle 0 + b = b + 0$
単位元の性質から、
$\displaystyle b + 0 = b$
したがって、 $-a = b$ が言えたので、仮定である $b \neq -a$ と矛盾し、仮定の否定「逆元は $-a$ 以外に存在しない」=「逆元は $-a$ 唯一つ」が真であることを証明出来た。