極値において、一階微分がゼロでも二階微分はゼロじゃない点について

例として、三次方程式
$\displaystyle y = x^3 + a x^2 + b x + c$
を考える。

$x = x_0$ で $y$ は極値を取るとすると、
$\displaystyle \left. \frac{ d y }{ d x } \right|_{x=x_0} = 3 x_0^2 + 2 a x_0 + b = 0 \\ \displaystyle \therefore a = - \frac{ 1 }{ 2 x_0 } ( 3 x_0^2 + b )$
極値 $x_0$ が存在するかどうかは、二次方程式の判別式を解く必要があるが、極値の存在を仮定すると、 $a, b$ の関係が求まる。