背理法をよく考えながら、Hohenberg-Kohnの第一定理を考える。

Hohenberg-Kohnの第一定理は以下の様なものである。
「外場 $V_{ext}$ と基底状態電子密度 $n_0$ は一対一対応する。」
これは、背理法で証明されることがほとんどだろう。

しかし、背理法そのものについて学ぶことは、あまりない気がしたので、ここでまとめる。

「命題」を、「真（True: T）か偽（False: F）のどちらかに定まる文」と定義する。

命題 $P, Q$ の間になんらかの結合規則を用いることで、新しく命題を作ることが出来る。
例えば、 $P \lor Q$ は「 $P,Q$ が共にFでない限りT」とする結合規則であり、一方で $P \land Q$ は「 $P,Q$ が共にTでない限りF」とする規則である。
集合で考えると、 $P \lor Q$ は集合和 $P \cup Q$ で、 $P \land Q$ は共通部分 $P \cap Q$ である。

また、 $P, Q$ が、全く同じ真偽値を取るとき、 $P \equiv Q$ と書き、「同値である」と言う。
更に、 $\bar P$ は $P$ の「否定」であり、真偽をひっくり返したものに対応する。集合では補集合 $P^c$ がそれに当たる。

ここから、重要な結合規則として、 $P \Rightarrow Q$ を考える。これは「含意」と呼ばれ、集合論では $P \subset Q$ に対応する。
言葉ではよく、「 $P$ ならば $Q$ 」と表現され、集合との対応も良い（Pの中に入っていればQも同時に満たす：十分条件）のだが、一方で真偽表現ではクセがある。
含意の同値表現は、 $(P \Rightarrow Q) \equiv (\bar P \lor Q)$ である。ここで躓き易いのは、「 $P$ がFならば問答無用で $P \Rightarrow Q$ はT」である点である。
「 $P$ ならば $Q$ 」と言うとき、無意識のうちに「 $P \equiv$ T」という仮定をしている。もっと言えば、「 $P \equiv$ F」のときには興味が無いのである。
そのため、「 $P \equiv$ Tのときに $Q$ がTなのかFなのか」ということに集中するため、「(F $\Rightarrow Q) \equiv$ T」となるように定義しているわけである。
集合的にも、 $P \subset Q$ がTであれば、 $P^c \cup Q$ は全ての範囲を覆いつくしているのでTと言える。

それで、やっと背理法であるが、
「 $\{ (\bar P \Rightarrow Q) \land (\bar P \Rightarrow \bar Q) \} \equiv P$ 」、つまり、証明したい命題の否定に対して、「何かしらの命題 $Q$ 」に対する矛盾が示せれば、 $P$ がTであると言える。
この $Q$ は、自分で設定する必要があるため自由度が高く、背理法での証明がよくわからない一つの要因だと思われる。

以下、背理法が正しいことを示す証明である。（三段論法と対偶は断り無しに使った。）
$\displaystyle \{ (\bar P \Rightarrow Q) \land (\bar P \Rightarrow \bar Q) \} \equiv \{ \bar P \Rightarrow ( Q \land \bar Q ) \} \equiv \{ (\overline{ Q \land \bar Q }) \Rightarrow P \} \\ \displaystyle \quad \equiv \{ ( \bar Q \lor Q ) \Rightarrow P \} \equiv \{ T \Rightarrow P \} \equiv P$

これを元に、Hohenberg-Kohnの（第一）定理を考えれば、「外場 $V_{ext}$ と基底状態電子密度 $n_0$ は一対一対応しない。」というのが $\bar P$ であり、 $Q$ は自分で設定する必要がある。
実際の証明では、「そもそも一対一対応とは何か？（式でどう表すか？）」から考える必要があるが、最終的には「基底状態のエネルギーが満たすべき性質」を $Q$ として矛盾を導く。

背理法の証明で、「これはどこから出て来た？」と思うことが多かったが、その理由が背理法の高い自由度に因っていたことがわかった。

参考文献：
https://www.gakushuin.ac.jp/~881791/mathbook/

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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

背理法をよく考えながら、Hohenberg-Kohnの第一定理を考える。