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量子力学、固体物理、fortran、python、etc

第二量子化でTight-Binding

量子力学

なんかダガーが使えなかったので、エルミート共役をbarで表現することにする。
位置表示での対角項は、後で行うフーリエ変換級数)しても対角的なので、省略する。
電子の移動のみをハミルトニアンで扱うと、

 \displaystyle 
  H = \sum_{ i, j } ( t_{ i j } \bar{ c }_i c_j + h.c. )

これを、最近接のみに制限(近似)する。
 < i, j > を最近接のペアを表すとすれば、

 \displaystyle 
  H = \sum_{ < i, j > } ( t_{ i j } \bar{ c }_i c_j + h.c. )

ここまでは系に依らない(この項だけを扱うのが正当化されるかどうかはもちろん系によるが、それはまた次元の違う近似の話である)。
ここで一次元格子に制限すると、 < i, j > = ( i, i + 1), (i, i - 1)と具体化される。正直、ここまで具体化しないと全然良くわからん。

 \displaystyle 
  H = \sum_i ( t_{ i i+1 } \bar{ c }_i c_{i+1} + t_{ i i-1 } \bar{ c }_i c_{i-1} + h.c. )

これを対角化したいというのが人間の性というものである。
位置基底が固有状態 => 局在(動かない)
運動量基底が固有状態 => 非局在(動く)
という発想の元、フーリエ変換級数)すると、


\displaystyle
  c_i = \frac{ 1 }{ \sqrt{N} } \sum_{ \vec{k} } c_\vec{k} e^{ i \vec{k} \cdot \vec{R}_i }, \\
\displaystyle
  c_{ \vec{k} } = \frac{ 1 }{ \sqrt{N} } \sum_i c_i e^{ - i \vec{k} \cdot \vec{R}_i }

変換の変換が元に戻るか確かめると、


\displaystyle
  c_i = \frac{ 1 }{ \sqrt{N} } \sum_\vec{k} c_\vec{k} e^{ i \vec{k} \cdot \vec{R}_i }, \\
\displaystyle
  = \frac{ 1 }{ N } \sum_{ \vec{k} } \sum_j c_j e^{ i \vec{k} \cdot ( \vec{R}_i - \vec{R}_j ) }, \\
\displaystyle
  = \sum_j c_j \delta_{ ij }, \\
\displaystyle
  = c_i

ここで、


\displaystyle
  \frac{ 1 }{ N } \sum_{ \vec{k} } e^{ i \vec{k} \cdot ( \vec{R}_i - \vec{R}_j ) }, \\
\displaystyle
  = \delta_{ ij }

を使用。
iの和の場合は、

\displaystyle
  \frac{ 1 }{ N } \sum_{ i } e^{ i ( \vec{k} - \vec{k}' ) \cdot \vec{R}_i }, \\
\displaystyle
  = \delta_{ \vec{k} \vec{k}' }

細かい話は省略。
この変換により、例えば上の一次元話でi+1からiへの移動の項を考えると、


\displaystyle
  \sum_i t_{ i i+1 } \bar{ c }_i c_{ i+1 }, \\
\displaystyle
  = \frac{ 1 }{ N } \sum_i t_{ i i+1 } \sum_{ k, k' } \bar{ c }_k c_{k'} e^{ - i k R_{ i } + i k' R_{ i+1 } }
  = \frac{ 1 }{ N } \sum_i t_{ i i+1 } \sum_{ k, k' } \bar{ c }_k c_{k'} e^{ i ( k' - k ) R_{ i } + i k' a }

 aは隣のサイトの距離である。今、一次元の格子だから格子定数と言って良い。
 t_{ij}が位置に依らないとすると、iで和が取れるから、


\displaystyle
  t \sum_{ k, k' } \bar{ c }_k c_{k'} e^{ i k' a } \delta_{ kk' }
  =  t \sum_{ k } \bar{ c }_k c_{k} e^{ i k a }

となり、kに対して対角的になる。つまり、動くものは運動量の固有状態になる。
隣のサイトに行った分、位相がずれる。
結局、


\displaystyle 
  H = \sum_k ( t ( \bar{ c }_k c_k e^{ i k a }+ \bar{ c }_k c_k e^{ - i k a } ) + h.c. ) \\
\displaystyle
  = \sum_k ( 2 t {\rm cos}( k a ) \bar{ c }_k c_k + h.c. ) = \sum_k 2 ( {\rm Re} t ) {\rm cos}( k a ) \bar{ c }_k c_k

よって、対角化が完了。
 tがiに依存したら並進対称性がないわけで、それはバンドにならんことがわかります。