第二量子化でTight-Binding

※2019/12/09 修正
位置表示での対角項は、後で行うフーリエ変換（級数）しても対角的なので、省略する。
電子の移動のみをハミルトニアンで扱うと、

$\displaystyle H = \sum_{ i, j } ( t_{ i j } c_i^\dagger c_j + h.c. )$

これを、最近接のみに制限（近似）する。
$< i, j >$ を最近接のペアを表すとすれば、

$\displaystyle H = \sum_{ < i, j > } ( t_{ i j } c^\dagger_i c_j + h.c. )$

ここまでは系に依らない（この項だけを扱うのが正当化されるかどうかはもちろん系によるが、それはまた次元の違う近似の話である）。
ここで一次元格子に制限すると、 $< i, j > = ( i, i + 1), (i, i - 1)$ と具体化される。正直、ここまで具体化しないと全然良くわからん。
注意として、
$\displaystyle \left( \sum_i t_{ i, i+1 } c_i^\dagger c_{i+1} \right)^\dagger = \sum_i t^*_{ i, i+1 } c_{i+1}^\dagger c_i = \sum_i t^*_{ i - 1, i } c_{i}^\dagger c_{i-1} \left( = \sum_i t_{ i, i-1 } c_{i}^\dagger c_{i-1} \right)$
であるため、逆方向への飛び移りはエルミート共役に対応することがわかる。

したがって、 $h.c.$ は逆方向の飛び移りだから、
$\displaystyle H = \sum_i ( t_{ i i+1 } c_i^\dagger c_{i+1} + t_{ i i-1 } c_i^\dagger c_{i-1} )$

これを対角化したいというのが人間の性というものである。
位置基底が固有状態　=> 局在（動かない）
運動量基底が固有状態 => 非局在（動く）
という発想の元、フーリエ変換（級数）すると、

$\displaystyle c_i = \frac{ 1 }{ \sqrt{N} } \sum_{ \vec{k} } c_\vec{k} e^{ i \vec{k} \cdot \vec{R}_i }, \\ \displaystyle c_{ \vec{k} } = \frac{ 1 }{ \sqrt{N} } \sum_i c_i e^{ - i \vec{k} \cdot \vec{R}_i }$

変換の変換が元に戻るか確かめると、

$\displaystyle c_i = \frac{ 1 }{ \sqrt{N} } \sum_\vec{k} c_\vec{k} e^{ i \vec{k} \cdot \vec{R}_i }, \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ N } \sum_{ \vec{k} } \sum_j c_j e^{ i \vec{k} \cdot ( \vec{R}_i - \vec{R}_j ) }, \\ \displaystyle = \sum_j c_j \delta_{ ij }, \\ \displaystyle = c_i$

ここで、

$\displaystyle \frac{ 1 }{ N } \sum_{ \vec{k} } e^{ i \vec{k} \cdot ( \vec{R}_i - \vec{R}_j ) }, \\ \displaystyle = \delta_{ ij }$

を使用。
iの和の場合は、
$\displaystyle \frac{ 1 }{ N } \sum_{ i } e^{ i ( \vec{k} - \vec{k}' ) \cdot \vec{R}_i }, \\ \displaystyle = \delta_{ \vec{k} \vec{k}' }$

細かい話は省略。
この変換により、例えば上の一次元話でi+1からiへの移動の項を考えると、

$\displaystyle \sum_i t_{ i i+1 } c_i^\dagger c_{ i+1 }, \\ \displaystyle = \frac{ 1 }{ N } \sum_i t_{ i i+1 } \sum_{ k, k' } c_k^\dagger c_{k'} e^{ - i k R_{ i } + i k' R_{ i+1 } } = \frac{ 1 }{ N } \sum_i t_{ i i+1 } \sum_{ k, k' } c_k^\dagger c_{k'} e^{ i ( k' - k ) R_{ i } + i k' a }$