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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

微分係数の逆数は逆の微分？（続き）

数学

前回、 x \equiv x( u ), \, x_v=0の時に、 u_x = x_u^{-1} であることを示した。
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しかし、前回得られた式をよく見ると、 x_v \neq 0, \, y_u = 0 でも u_x = x_u^{-1} になることがわかる。
\displaystyle u_x = \frac{ y_v }{ x_u y_v - x_v y_u } = \frac{ y_v }{ x_u y_v } = x_u^{-1}

x_v \neq 0 はつまり x \equiv x( u, v ) であるわけだが、 x が v に依存しているにも関わらず、 y_u =0 のために v_x = 0 となることがわかる。
\displaystyle v_x = - \frac{ y_u }{ x_u y_v - x_v y_u } = - \frac{ 0 }{ x_u y_v } = 0 \neq x_v
これは、結構直感に反するのではないだろうか？

そこで、 y の微分についても調べることにする。
u, v の微分は連鎖律を用いて、 x, yの微分で表せる。
\displaystyle \frac{ d }{ du } = x_u \frac{ d }{ dx } + y_u \frac{ d }{ dy } \\ \displaystyle \frac{ d }{ dv } = x_v \frac{ d }{ dx } + y_v \frac{ d }{ dy }

ここから逆に x, yの微分に分離すると、
\displaystyle y_v \frac{ d }{ du } - y_u \frac{ d }{ dv } = \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \frac{ d }{ dx } \\ \displaystyle x_v \frac{ d }{ du } - x_u \frac{ d }{ dv } = - \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \frac{ d }{ dy } \\ \displaystyle \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \equiv x_u y_v - x_v y_u

整理すると、
\displaystyle \frac{ d }{ dx } = \left( \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \right)^{-1} y_v \frac{ d }{ du } - \left( \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \right)^{-1} y_u \frac{ d }{ dv } \\ \displaystyle \frac{ d }{ dy } = - \left( \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \right)^{-1} x_v \frac{ d }{ du } + \left( \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \right)^{-1} x_u \frac{ d }{ dv }

ここまでは一般的。ここで、 y_u = 0 の条件を課すと、
\displaystyle \frac{ d }{ dx } = x_u^{-1} \frac{ d }{ du } \\ \displaystyle \frac{ d }{ dy } = - \frac{ x_v }{ x_u y_v } \frac{ d }{ du } + y_v^{-1} \frac{ d }{ dv }
と表せる。
x が u, v 両方に依存する影響が、 y の方に出ていることがわかる。

これが合っているのか、簡単な計算で確かめることにする。
\displaystyle x = 2 u + v, \quad y = v \\ \displaystyle f = x + y = 2u + 2v \\ \displaystyle \frac{ d f }{ dx } = 1 = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot 2 = x_u^{-1} \frac{ d f }{ du } \\ \displaystyle \frac{ d f }{ dy } = 1 = - 1 + 2 = - \frac{ 1 }{ 2 \cdot 1 } \cdot 2 + \frac{ 1 }{ 1 } \cdot 2 = - \frac{ x_v }{ x_u y_v } \frac{ df }{ du } + y_v^{-1} \frac{ df }{ dv }
ちゃんと答えが一致した。
どちらかが一変数にしか依存しない場合、対角成分では逆数の関係が成り立つ（ u_x = x_u^{-1}, \, v_y = y_v^{-1}） が、非対角成分には注意が必要である。
もちろん、 x,y の両方が u,v に依存する場合には、逆数の関係は成り立たないので、逆数に期待し過ぎるとちょっと危険かもしれない。