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基礎的なことこそ、簡単な例が必要だと思うのです。

微分係数の逆数は逆の微分？

数学

以下の式は一般に正しいだろうか？
\displaystyle \frac{ d u }{ d x } = \left( \frac{ d x }{ d u } \right)^{-1} \quad (?)

x \equiv x( u )の時は正しい。
\displaystyle \frac{ d }{ d u } = \frac{ d x }{ d u } \frac{ d }{ d x } \\ \displaystyle \frac{ d }{ d x } = \frac{ d u }{ d x } \frac{ d }{ d u } \\ \displaystyle \therefore \frac{ d u }{ d x } = \left( \frac{ d x }{ d u } \right)^{-1}
xが uで定義されている場合、 \frac{ d x }{ d u }の方が求め易いことが多い。
なので、このような関係式をなるべく使いたい訳である。

では、多変数の場合にはどうか？
\displaystyle x \equiv x( u, v ), \quad y \equiv y( u, v ) \\ \displaystyle \frac{ d }{ d u } = x_u \frac{ d }{ d x } + y_u \frac{ d }{ d y } \\ \displaystyle \frac{ d }{ d v } = x_v \frac{ d }{ d x } + y_v \frac{ d }{ d y }

これを \frac{ d }{ dx }だけを抜き出すように式変形すると、
\displaystyle y_v \frac{ d }{ d u } - y_u \frac{ d }{ d v } = ( x_u y_v - x_v y_u ) \frac{ d }{ d x } \equiv \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \frac{ d }{ d x }
\frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } がヤコビアンと呼ばれているものである。
したがって、
\displaystyle \frac{ d }{ d x } = \left( \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \right)^{-1} y_v \frac{ d }{ d u } - \left( \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \right)^{-1} y_u \frac{ d }{ d v }

一方で、 \frac{d}{dx}を u,vの微分で直接表せば、
\displaystyle \frac{ d }{ d x } = u_x \frac{ d }{ d u } + v_x \frac{ d }{ d v }

したがって、
\displaystyle u_x = \left( \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \right)^{-1} y_v \\ \displaystyle v_x = - \left( \frac{ \partial ( x, y ) }{ \partial ( u, v ) } \right)^{-1} y_u

よって、一般には u_x \neq x_u^{-1}である。

x_v = 0、すなわち、 x \equiv x( u ) のときに限りを確認すると、
\displaystyle u_x = \frac{ y_v }{ x_u y_v - x_v y_u } = \frac{ y_v }{ x_u y_v } = x_u^{-1}
が成り立つことがわかる。

次回、もう少し複雑な場合を考える。